《高等数学》第六章 向量代数与空间解析几何(电子讲稿).doc

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1、第六章向量代数与空间解析几何在平面解析几何中，通过平面直角坐标系建立了平面上的点与二元有序实数对之间的一一对应关系，从而可以用代数方法来研究几何问题，这为一元微积分学提供了直观的几何背景．空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的，并为研究多元函数微积分学提供直观的几何背景．本章先引进向量的概念，根据向量的线性运算建立空间直角坐标系，然后利用坐标讨论向量的运算，并利用向量工具讨论空间中的平面和直线、空间曲线和曲面的有关内容．第一节向量及其线性运算一、向量的概念在研究力学以及其他应用科学时，常会遇到这样一类量，它们既有大小，又有方向．例如力、

2、力矩、位移、速度、加速度等，这一类量叫做向量（或矢量）．在数学上，用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作（图61）．向量也可用黑粗体字母表示，也可在字母上加箭头表示，例如，，，或，，．由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量．因此，如果向量和的大小相等，且方向相同，则说向量和是相等的，记为．相等的向量经过平移后可以完全重合．向量的大小叫做向量的模．向量，，

3、的模分别记为，，．模等于1的向量叫做单位向量．模等于0的向量叫做零向量，记作0或．零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的．与的模相等而方向相反的向量，称为的负向量，记作．设和为非零向量，在空间中任取一点，作，，规定不超过的（即）称为向量和的夹角（图62），记作或．如果和中有一个为零向量，规定它们的夹角可在与之间任意取值．若或，即向量和的方向相同或相反，则称这两个向量平行，记作//．可认为零向量与任何向量都平行．若，则称向量与垂直，记作．也可认为零向量与任何向量都垂直．当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共的起点在一条

4、直线上．因此，两向量平行又称两向量共线．类似还有向量共面的概念，设有个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果个终点和公共起点在一个平面上，就称这个向量共面．二、向量的线性运算1．向量的加法向量的加法运算规定如下：设有两个向量与，任取一点，作，再以B为起点，作，连接，（图63），那么向量称为向量与的和，记作，即．上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则．向量加法还满足如下平行四边形法则（图64）：当向量与不平行时，平移向量，使与的起点重合，以，为邻边作一平行四边形，从公共起点到对角的顶点的向量等于向量与的和．向量的加法满足下列运算规

5、律：（1）交换律；（2）结合律．由于向量的加法符合交换律与结合律，故个向量相加可写成,并按向量相加的三角形法则，可得个向量相加的法则如下：使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终点为终点作一向量，这个向量即为所求的和．我们规定两个向量与的差为（图65）．特别地，当时，有．显然，任给向量及点，有，因此，若把向量与移到同一起点，则从的终点向的终点所引向量便是向量与的差．由三角形两边之和大于第三边的原理，有及，其中等号在与同向或反向时成立．2．向量与数的乘法向量与实数的乘积记作，规定是一个向量，它

6、的模为．当时，向量与的方向相同，当时，向量与的方向相反．当时，，即为零向量，这时它的方向可以是任意的．特别地，当时，有．向量与数的乘积运算满足下列运算规律：（1）结合律；（2）分配律；．向量加法与数乘运算统称为向量的线性运算．●●例1化简．解．●●例2设在平面上给了一个四边形，点、、、分别是边、、、的中点，求证：．证如图66所示，连结，则在中，；在中，．所以．设，则向量是与同方向的单位向量，记为．于是．由向量的数乘运算知向量与平行，因此有如下定理：设向量，那么，向量平行于的充分必要条件是：存在唯一的实数，使．证条件的充分性是显然的，下面证

7、明条件的必要性．设//．取，当与同向时取正值；当与反向时取负值，即．这是因为此时与同向，且．再证明实数的唯一性．设，又设，两式相减，得，即．因，故，即．定理获证．定理1是建立数轴的理论依据，我们知道，给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴．设点及单位向量确定了数轴，对于数轴上任一点，对应一个向量，由//，根据定理1，必有唯一的实数，使，（实数叫做数轴上有向线段的值），并知与实数一一对应．于是点向量实数，从而数轴上的点与实数有一一对应的关系．据此，定义实数为数轴上点的坐标．由此可知，数轴上点的坐标为的充分必要条件是．三、空间直角坐标系在空

8、间取定一点和3个两两垂直的单位向量，，，就确定了3条都以为原点的两两垂直的数轴，依次记为轴（横轴）、轴（纵轴）、轴（竖轴），统称为坐标轴．它们构成一个空间直角坐标系，称为坐标系或坐标系．通常把