一轮复习配套讲义：第2篇第4讲幂函数与二次函数详解.doc

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1、第4讲　幂函数与二次函数[最新考纲]1．了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况．3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x

2、x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)

3、R[0，＋∞){y

4、y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减，[0，＋∞)增增增(－∞，0)减，(0，＋∞)减定点(0,0)，(1,1)(1,1)2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数的三种常见解析式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实

5、根．(3)二次函数的图象和性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象a>0a<0定义域RR值域y∈y∈对称轴x＝－顶点坐标奇偶性b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数递增区间递减区间最值当x＝－时，y有最小值ymin＝当x＝－时，y有最大值ymax＝辨析感悟1．对幂函数的认识(1)函数f(x)＝x2与函数f(x)＝2x2都是幂函数．(×)(2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．(×)(3)幂函数的图象不经过第四象限．(√)2．对二次函数的理解(4)二次函数

6、y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)(5)(教材习题改编)函数f(x)＝x2＋4x＋6，x∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.(×)(6)(2011·陕西卷改编)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n≤4.(×)学生用书第19页[感悟·提升]三个防范　一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要

7、盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．三是一元二次方程有实根的充要条件为Δ≥0，但还要注意n∈N*，如(6)．考点一　幂函数的图象与性质的应用【例1】(1)(2014·济南模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则log4f(2)的值为(　　)．A.B．－C．2D．－2(2)函数y＝的图象是(　　)．解析　(1)设f(x)＝xα，由图象过点，得α＝＝⇒α＝，log4f(2)＝＝.(2)显然f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0＜x＜1时，＞x；当x＞1时，＜x，知只

8、有B选项符合．答案　(1)A　(2)B规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】比较下列各组数的大小：⑴，，1；⑵，，.解⑴　把1看作，幂函数y＝在(0，＋∞)上是增函数．∵0＜0.9＜1＜1.1，∴＜＜.即＜1＜.⑵因为＝，＝＝，＝＝，幂函数y＝在(0，＋∞)上是增函数，且＜＜1.21.∴

9、＜＜(－1.1).考点二　二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是(　　)．A．②④B．①④C．②③D．①③解析　因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝

10、－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．答案　B规律方法解决二次函数的图象问题有以下两种方法：(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】(2014·广东六校教研协作体联考)已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．解析　当x0∈