不等式性质版块2题库学生版.doc

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1、板块二：均值不等式（一）知识内容1．均值定理：如果（表示正实数），那么，当且仅当时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．2．对于任意两个实数，叫做的算术平均值，叫做的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．<教师备案>1．在利用均值定理求某些函数的最值时，要注意以下几点：⑴函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；⑵函数式中含变数的各项的和

2、或积必须是常数；⑶只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等．2.均值不等式的几何解释：半径不小于半弦．⑴对于任意正实数，作线段，使；⑵以为直径作半圆，并过点作于，且交半圆于点；⑶连结，则，∵∴，当时，在中，有．当且仅当时，两点重合，有．3．已知：（其中表示正实数），有以下不等式：其中称为平方平均数，称为算术平均数，称为几何平均数，称为调和平均数．证明：∴∵，∴，当且仅当“”时等号成立．∴，当且仅当“”时等号成

3、立．∵∴，当且仅当“”时等号成立．∴∴，当且仅当“”时等号成立．了解这组不等式对解决一些不等式的证明题会有帮助，可选择性介绍．（三）典例分析：1.基础不等式【例1】1．“且”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（2008浙江文5），，且，则（）A．B．C．D．【变式】（2006江苏）设是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．　　　B．C．　　　　　D．【例2】（2007年上海）设、为非零实数，若，则下列各式成立的是（）A．B．C．D．【变式】若，则下列不等式①②

4、③④中，正确的不等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式】设、、、、、均为正实数，，，那么（）A．B．C．D．、间大小关系不确定，而与、的大小有关【变式】（2008全国Ⅰ理10）（拓展题）若直线通过点，则（）A．B．C．D．【例1】设实数、满足，且，则下列四数中最大的是（）A．B．C．D．【例2】正实数、、满足，，则（）A．B．C．D．与大小不定【例3】已知，则与的大小关系是________．【例4】已知实数、、满足条件，，设，则（）A．B．C．D．以上都可能【例5】若，以下不等式恒成立的是()A．B．C．D．2.不等

5、式最值问题【例6】若，则的最小值是_________．【例7】设、，则，则的最小值是_________．【例1】若、，且，则的最大值是_________．【例2】(2006年高考陕西卷)已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为()A．B．C．D．【例3】当时，函数有最值，其值是．【例4】正数、满足，则的最小值是______．【例5】（2007·上海）若、且，则的最大值是_____________．【变式】设，，则的最大值为_________．【变式】已知，，，则的最小值为【例6】（2006·江苏初赛）设，那么的最小值为

6、（）A．2B．3C．4D．5【变式】设，则的最大值是最小值是.【变式】(2004年重庆14)已知，则的最小值是.【例7】已知其中，且，求的最大值．【变式】求的最小值．【例1】（2008新课标江苏11）设，，为正实数，满足，则的最小值是．【例2】⑴已知、，且，当=______，=_____时，有最大值为_______．⑵若、，且，则的最大值是_______，此时3.均值与函数最值【例3】求函数的最小值．【例4】求函数的最小值.【例5】求函数的最小值．【例6】已知，求的最小值.【变式】求函数的最小值．【点评】当、为常数，且为定值，

7、时，，不能直接求最小值，此时求最值的一般方法是通过函数的单调性求最值或者通过恒等变形，求出之差的最值，从而求得原函数的最值，如本题的法一和法二．法三是判别式法，因为有范围，所以光用判别式判断方程有根并不能保证在所限制的范围内能取到对应的值，所以这里需要讨论，可以看出，这种讨论很繁琐晦涩，一般不用．【变式】（2005·四川初赛）函数的最小值为（）A．1B．2C．D．【例1】⑴求函数的最小值，并求出取得最小值时的值．⑵求的最大值．【变式】⑴求函数（且）的最小值．⑵求函数的取值范围．【点评】第⑴题在解答过程中如果选用判别式法往往会陷

8、入困境：由得：，，且要满足有大于的解，下面的讨论与求解过程十分复杂，故这里用判别式法不合适．【例2】⑴求函数的最大值．⑵求的最小值．⑶求函数的最值．【例3】⑴已知，求函数的最小值．⑵求函数的取值范围．⑶求函数的最大值．【变式】⑴已知是正常数，，，求证：，指出等号成立的条件；⑵