线性代数(王定江)第4章答案.pdf

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1、习题四TTT1．设α=(1,0,-1),αα=(3,2,-=1),(6,8,1),求32αα+-α.123123æ1öæ3öæ6öæ3öæ6öæ63öæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷解:3a+2aa-=30+22-8=0+4-8=-4.123ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷çè-1÷øçè-1÷øçè1÷øçè-3÷øçè--2÷øçè16÷øç÷èøTT2．设αβ=(6,1,-1,0),=-(0,2,1,3),求向量γ,使得23αγ+=β.éæ0öæ6öùæ--124öæöêúç÷ç÷ç÷ç÷1112100解:g=(ba-2)=-êúç÷2ç÷=ç

2、÷=.ç÷333êúç--1÷ç1÷ç1÷ç÷13êúç÷ç÷ç÷ç÷êúëûè3øè0øè31øèø3．将向量α表示成α,αα,,α的线性组合.1234æ0öæ1öæ2öæ10öæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷01111（1）α=ç÷,α=ç÷,α=ç÷,,αα==ç÷ç÷;1234ç0÷ç0÷ç3÷ç01÷ç÷-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷è1øè1øè1øè01øèø-æ1öæ1öæ1öæ11öæöç÷ç÷ç÷ç÷ç÷211--11（2）α=ç÷,α=ç÷,α=ç÷,,αα==ç÷ç÷1234ç1÷ç1÷ç--1÷ç11÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷è1øè1

3、øè--1øè11øèø解:（1）令a=xa+xa++xxaa,即11223344æxx11öæ12100öæöæöç÷ç÷ç÷ç÷xx11110a=(a,a,,aa)ç22÷==ç÷ç÷ç÷,1234çxx÷ç030-10÷ç÷ç÷33ç÷ç÷ç÷ç÷èxxøè110-11øèøèø44TT求解得(x,x,xx,)=-(1,0,1,0),即a=-aa.123413（2）令a=xa+xa++xxaa,即11223344æxx11öæ11111öæöæöç÷ç÷ç÷ç÷xx11--112a=(a,a,,aa)ç22÷==ç÷ç÷ç÷,1234çxx

4、÷ç1--1111÷ç÷ç÷33ç÷ç÷ç÷ç÷èxxøè1--1111øèøèø44TT求解得(x,x,xx,)=(54,14,--14,14),即1234-1-5111a=a+a--aa.123444444．判别下列向量组的线性相关性:æ1öæ01öæöç÷ç÷ç÷（1）α=1,αα==2,3;1ç÷23ç÷ç÷çè1÷øçè56÷øç÷èøæ1öæ-12öæöç÷ç÷ç÷0-13（2）α=ç÷,,αα==ç÷ç÷;123ç-1÷ç21÷ç÷ç÷ç÷ç÷è2øè-40øèøæaxöæayöæöazç÷ç÷ç÷（3）α=bx,,αα==bybz

5、,其中a,b,c,x,y,z全不为零;1ç÷23ç÷ç÷çècx÷øçècy÷øç÷èøcz解:（1）方法一:对矩阵A=(a,,aa)做初等行变换123æ101öæ101öæö1015ç÷rr-ç÷rr32-2ç÷A=123¾¾21¾®022¾¾¾®022,ç÷rr31-ç÷ç÷çè156÷øçè055÷øç÷èø000因为RA()=<23,所以a,,aa线性相关.123方法二:因为101101rr-21A==1230220,rr-15631055所以a,,aa线性相关.123（2）对矩阵A=(a,,aa)做初等行变换123æ1-12öæ1-12

6、öæ1--12öæö112ç÷ç÷ç÷5ç÷0-13r++r0-13rr0--13rr43+013ç÷¾¾31¾®ç÷¾¾32¾®ç÷¾¾3¾®ç÷,ç-121÷r4--22r1ç013÷rr42ç006÷ç÷006ç÷ç÷ç÷ç÷è2-40øè02---4øè0010øèø000因为RA()3=,所以a,,aa线性无关.123（3）方法一:对矩阵A=(a,,aa)做初等行变换123-2-æaxayazöæaxayazöæöxyzb1ç÷r2+aarr11ç÷ç÷A=bxbybz¾¾¾®000¾¾®000ç÷rr-cç÷ç÷31çcxcycz÷a

7、ç000÷ç÷000èøèøèø因为RA()=<13,所以a,,aa线性相关.123方法二:因为axayazxyzA=bxbybz==abcxyz0,cxcyczxyz所以a,,aa线性相关.123æaöæ--21öæöæö1ç÷ç÷ç÷ç÷5．设有向量组A:α=2,αα==1,1,以及向量γ=b,问ab,为何1ç÷23ç÷ç÷ç÷çè10÷øçè54÷øç÷èøç÷èø-1值时,（1）向量γ不能由向量组A线性表示;（2）向量γ能由向量组A线性表示,且表示式唯一;（3）向量γ能由向量组A线性表示,且表示式不唯一,并求其表示式.解:令γ=xa++x

8、xaa,即112233æax--211öæöæö1ç÷ç÷ç÷211xb=.ç÷ç2÷ç÷çè10541÷øçèx÷øç÷èø-3因为系