实验三 一元微积分.doc

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1、【实验三】一元微积分【实验目的】通过实验，学习和掌握在Mathematica系统下，观察、分析和计算一元函数的极限、导数，以及求一元函数极值的基本方法.【实验准备】一、观察函数的变化趋势观察函数的变化趋势可以采用下列两种方法：1.当时：首先在某一较小的区间内作出函数的图形，然后再逐次加大区间的范围，作出动画图形，观察函数的变化趋势.2.当时：在某一点附近取一小区间，作出函数在该区间上的图形，然后逐次缩小区间的范围，观察函数在该点的变化趋势.例1观察函数，当时的变化趋势.解先取一个较小的区间，如[1，30]，作出

2、函数在这一区间上的图形In[1]:=Out[1]:=发现在区间[1，30]上函数逐渐趋近于.下面逐次加大区间的范围，进行观察：分别取区间为[1，40]、…[1，100]…作出函数的图形In[2]:=Out[2]:=………………In[3]:=Out[3]:=………………从以上所作图形进行观察，得到结论：当时，函数的极限趋向于.制作函数在区间[1，100]内变化的动画图形，观察该函数的变化趋势.In[1]:=输入以上程序后，执行运算可得一系列函数图形，选中包含所有图形的线框，即可播放动画图形.例2观察函数，当时的变

3、化趋势解取附近的一个小区间，如[-1，1]作出函数图形In[1]:=Out[1]:=然后再取[-0.1，0.1]，[-0.01，0.01]，[-0.001，0.001]，分别在这些小区间上作出函数的图形进行观察In[2]:=Out[2]:=In[3]:=Out[3]:=In[4]:=Out[4]:=此时，图形已集中在纵坐标上的2.718与2.7185之间，如此继续下去，可以得出此范围会逐渐缩小至点2.71828…，因而得到二、极限的计算1.使用内部函数求极限命令意义；.当时，求函数的极限.当时，求函数的极限.计

4、算.计算.例3计算下列极限：(1)；(2)在区间[-4，4]上作出函数的图形，并求与.解(1)In[1]:=Out[1]:=(2)In[2]:=Out[2]:=In[3]:=Out[3]:=In[4]:=Out[4]:=2.调用外部函数求极限求一个较复杂函数的极限，无法使用内部函数求解，这就需要调用外部函数进行求解，具体步骤如下：(1)加载函数库；(2)运用命令求极限.例4求解In[1]:=In[2]:=Out[2]:=三、观察函数在某一点的变化率作出函数在点处的割线向切线变化的动画图形.In[1]:=In[2

5、]:=说明：(1)定义函数和给定的横坐标；(2)函数在点的割线方程为；切线方程是.(3)播放动画，观察到当时，割线的极限即为函数在点的切线.四、导数与微分的计算1.求函数的导数命令意义求对的导数.求在点的导数.求对的阶导数.求在点的阶导数.例5求下列函数的导数(1)，求；(2)，求及；(3)，求.解(1)In[1]:=Out[1]:=(2)In[2]:=Out[2]:=In[3]:=Out[3]:=In[4]:=Out[4]:=2.计算参数方程所确定的导数对由参数方程确定的函数的导数采取定义一个求函数导数过程的

6、方法去完成这一计算.命令意义求由确定的函数的导数.例6设是由参数方程所确定的函数，求及的值.解In[1]:=Out[1]:=In[2]:=Out[3]:=3.计算函数的微分命令意义计算函数的微分.例7求函数的微分.解In[1]:=Out[1]:=4.计算由隐函数所确定的导数对隐函数方程所确定的导数，Mathematica虽然没有提供隐函数的命令，但是我们可以通过下列方法完成计算过程：(1)定义函数，(2)求微分，(3)解方程.例8已知，求.解(1)In[1]:=…………………定义函数Out[1]:=(2)In[

7、2]:=…………………………求微分Out[2]:=(3)In[3]:=………………解方程Out[3]:=五、导数的应用——计算函数的极小值和极大值在Mathematica系统中用命令求函数的极小值，格式如下：命令意义以作为初始条件求函数的极小值.结果以{，形式输出，其中是极值，是极值点.说明：1.在求函数极值时，首先要作出函数在某一区间的图形，通过图形观察函数在区间的不同区域内的大致极值点，然后用命令以这些点作为初始条件搜索函数在这一区间内的极值.2.Mathematica没有提供命令，如果想求出极大值，先将函

8、数乘以，再用命令求出的极小值乘以得到极大值.例9求函数在内的极值.解首先定义函数：In[1]:=;作出函数的图象：In[2]:=Out[2]:=由于函数有多个区域的极小值，因此改变初始值能求得函数在不同区域的极小值.下面利用命令求极小值，通过图形观察到初始值分别为,,,.In[3]:=Out[3]:=在处有极小值–6.1282In[4]:=Out[4]:=在处有极小值–1.86866I