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1、3.1空间向量作业一、选择题1.下列命题是真命题的是( )(A)分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是不共面向量(B)若
2、a
3、＝
4、b
5、，则a，b的长度相等而方向相同或相反(C)若向量，满足
6、
7、＞
8、
9、，且与同向，则＞(D)若两个非零向量与满足＋＝，则∥解析：空间任意两个向量都是共面向量，故A假；若
10、a
11、＝
12、b
13、，则a与b的模相等，方向不确定，故B假；两个向量不能比较大小，故C假；＋＝⇔＝－，∴∥，故D真．2.在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线
14、，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.其中正确命题的个数是( )(A)0(B)1(C)2(D)3解析：a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中
15、正确的个数为0，故选A.3下列各组向量中不平行的是（）ABCD解：D而零向量与任何向量都平行4已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（）ABCD解：A关于某轴对称，则某坐标不变，其余全部改变5若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）ABC或D或解：C6空间四边形中，，，则<>的值是（）ABC－DD解：7.已知向量a=（8,,）,b=（,1,2）,其中>0,若a∥b,则的值为（）.(A)8(B)4(C)2(D)0解析：a∥b且x>0⇔存在实数λ>0使a＝λb⇔(8，，x)＝(λx，λ，2λ)⇔⇔.故选B.8.顶点分别为（1,-1,2）,
16、（5,-6,2）,（1,3,-1）则边上的高等于（）.(A)5(B)(C)4(D)2解析：设＝λ，又＝(0,4，－3)．则＝(0,4λ，－3λ)．＝(4，－5,0)，＝(－4,4λ＋5，－3λ)，由·＝0，得λ＝－，∴＝(－4，，)，∴
17、
18、＝5.故选A.9．已知空间四点A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，D(x，－1,3)共面，则x的值为( )A．4 B．1 C．10 D．11[解析] ＝(－2,2，－2)，＝(－1,6，－8)，＝(x－4，－2,0)，∵A、B、C、D共面，∴、、共面，∴存在
19、λ、μ，使＝λ＋μ，即(x－4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，∴，∴.10．以下四个命题中正确的是( )A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底[解析] 使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其它三个不共面的向量来表示，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向
20、量组成的，D不正确，故选B.11．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则( )A．i＋j＋k B.i＋j＋kC．3i＋2j＋5kD．3i＋2j－5k[答案] C12．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是
21、空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4[解析] 根据基底的概念，空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底．显然②正确，③中由、、共面且过相同点B，故A、B、M、N共面．下面证明①④正确．①假设d与a、b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a、b共面与条件矛盾．∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．[答案] D13．已知向量{a，b，c}是
22、空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是( )A．aB．bC．cD．无法确定[解析] ∵a＝p＋q，∴a与p、q共面，∵b＝p－q，∴b与p、q共面，∵不存在λ、μ，使c＝λp＋μq，∴c与p、q不共面，故{c，p，q}可作为空间
