（江苏专版）高考数学总复习 第3章 第7节 正弦定理双基自测 理（新版）苏教版必修.doc

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1、第七节　正弦定理、余弦定理的应用举例考纲传真内容要求ABC正弦定理、余弦定理及其应用√1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际应用中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是0°～360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度例：(

2、1)北偏东m°(2)南偏西n°坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡度为i，则i＝＝tanα坡度(或坡比)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α＝β.(　　)(2)若点A在点B的北偏东30°方向，则点B在点A的东偏北60°方向．(　　)(3)坡度是坡面与水平面所成的二面角的度数．(　　)(4)如图371所示，B，C，D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β和α(α<β)，则可以求出A点距地面的

3、高度AB.(　　)图371[解析]　根据相关角的概念知(1)正确，(2)(3)错误．对于(4)，在△ACD中，由正弦定理可求AC，AC＝.在Rt△ABC中，AB＝AC·sinβ，因为a，α，β已知，故AB可求，所以(4)正确．[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材习题改编)某海域有A，B，C三个小岛，测得A岛在B岛的北偏东15°方向上且距B岛10海里，C岛在B岛正东方向，在A岛南偏东45°方向上，则B，C两岛间的距离为________海里．[解析]　根据题意画出示意图，在△ABC中，AB＝10，∠BAC＝15°＋45°

4、＝60°，∠BCA＝45°，由正弦定理，得＝，所以BC＝＝＝＝5.[答案]　53．为了测量河的宽度，在岸的一边选取两点A和B，观测对岸标记C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河宽为________m(保留根式)．[解析]　如图所示，CD为河的宽度，＋＝120.∴CD＝＝20(3＋)m.[答案]　20(3＋)4．在O点测量一在做匀速直线运动的物体，开始时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过一分钟，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为________．[解析]　如图所

5、示，由于物体做匀速直线运动，根据题意，PQ＝QR，不妨设其长度为1.在Rt△POQ中，OQ＝sin∠OPQ，OP＝cos∠OPQ，在△OPR中，由正弦定理得＝.在△ORQ中，＝，综上得＝tan∠OPQ＝.[答案]　5.如图372，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，CD＝10m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________m.图372[解析]　在△BCD中，CD＝10，∠BCD＝30°，∠BDC＝120°，∴∠CBD＝180°－30°－120°＝30

6、°由正弦定理，得＝，∴BC＝＝＝10.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝10×＝30.[答案]　30考向1　测量高度问题【典例1】　第二届夏季青年奥林匹克运动会于2014年8月16日在南京开幕，开幕式上举行升旗仪式，在坡角为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m(如图373所示)，求旗杆的高度．图373[解]　设最后一排和第一排的观测点分别为A，B，旗杆顶端和底端分别为C，D，则依题意画出示意图．如图，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°

7、.由正弦定理得＝，所以BC＝20×＝20.在Rt△CBD中，CD＝BCsin60°＝20×＝30(m)．【规律方法】　1．在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．2．分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，并注意综合运用方程、平面几何、立体几何等知识．【变式训练1】　如图374所示，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，在C点测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝

8、45°，求塔AB的高度．图374[解]　在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10，在Rt△ABC中，tan60°＝，A