定积分的基本公式.doc

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1、第三讲定积分的基本公式【教学内容】1．变上限积分函数2．牛顿－莱布尼兹公式【教学目标】1．掌握变上限积分函数2．掌握牛顿－莱布尼兹公式【教学重点与难点】牛顿－莱布尼兹公式【教学过程】一、引例一物体作变速直线运动时，其速度，则它从时刻到时刻所经过的路程：另一方面，如果物体运动时的路程函数，则它从时刻到时刻所经过的路程等于函数在上的增量同一物理量（路程）的两种不同数学表达式应该是相等的，∴∵∴二、变上限积分函数1．定义：如果函数在区间上连续，那么对于区间上的任一点来说，在区间上仍连续，所以函数在上的定积分存在。也就是说，对于每一个确定的值，这个积分将有一个确定的值与之对应，因此它是

2、积分上限的函数，此函数定义在区间上，把它叫做变上限积分函数，记为。即2．定理1　如果函数在区间上连续，则变上限积分函数是函数的原函数，即或证设给以增量，则函数的相应增量为由定积分中值定理有(在和之间)因为在上连续，而时，，因此　例1已知，求.解例2已知，求.解例3已知，求.解∵∴例4已知，求.解∵∴三、牛顿－莱布尼兹公式定理2(牛顿－莱布尼兹公式)如果是连续函数在上的一个原函数，则证由定理１知是函数的一个原函数，又是的一个原函数，∴在上式中令，∵，得，代入上式得在上式中令，并把积分变量换为，便得到这个公式叫做牛顿－莱布尼兹（Newton－Leibnitz）公式或积分基本公式，它

3、是计算定积分的基本公式。为了方便起见，以后把记成为或，于是牛顿－莱布尼兹公式可写成或这定理说明：连续函数的定积分等于被积函数的任一原函数（通常取）在积分区间上的增量。例5计算.解例6计算.解例7计算.解例8计算.解例9计算.解