平移、旋转、对称变换在几何难题中的应用.doc

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1、1 平移变换把图形中的某一个线段或者一个角移动到一个新的位置，使图形中分散的条件紧密地结合到一起。一般有2种方法：1.平移已知条件2.平移所求问题，把所求问题转化，其实就是逆向证明。几何题多数都是逆向思考的。例1在三角形ABC中，BD=CE,求证：AB+AC大于AD+AE。这是典型的平移条件问题。解：我们把三角形AEC平移到如图所示的FBD位置。这里用了BD=EC的条件。设AB与FD交于P这样，容易构造两个全等的三角形 AEC,FBD由于 PA+PD大于 ADPF+PB大于 BF 两式相加  PA+PB+PD+PF大于AD+BF又因为BF= AE，AC=FD所以AB+AC大于

2、AD+AE例2线段AB与线段CD交于O,AB=CD=1且角BOD=60,求证:AC+BD≥1解：如果证明不等的话，毫无疑问，题目要扯到三角形的性质上面来。三角形的两边之和大于第三边，我们用的就是这个。下面考虑怎么进行平移。平移的关键就是要把分散的条件集中。所以我们把AC平移到如图的BE位置，可以构造一个平行四边形（黄色部分）。所以，AC=BE ,这一步就是把AC移向一个新的位置，这样，在三角形DBE中，DB+BE大于DE.由于平行，可以导出DCE=60,又知道CE=AB=CD=1。所以△CDE是等边三角形， DE=1。 这样，利用DB+BE大于DE,可证明AC+BD＞1，当A

3、C平行于DB的时候，可以取等号。2.旋转变换 把平面图形绕旋转中心,旋转一个定角，使分散的条件集中在一起.在遇到关于等腰三角形、正三角形、正方形等问题时,是经常用到的思维途径.例1如图,等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠A=90,M,N为斜边BC上两点且∠MAN=45,求证:BM^2+CN^2=MN^2解：要证BM^2+CN^2=MN^2,容易想到勾股定理.但是BM,CN,MN都不在同一个三角形上,所以,我们就设法将BM,CN,MN移到同一三角形上。考虑到△ABC是等腰三角形，且是直角三角形，将△ABM绕点A逆时针旋转90.使AB与AC重合.得到△ACD，则△NCD为直角

4、三角形只需证明MN=ND即可因为∠MAN=45,所以∠BAM+∠NAC=45，即∠NAD=45又因为AM=AD所以△AND≌△AMN所以MN=ND，在直角△NDC中，有ND^2=NC^2+DC^2，所以BM^2+CN^2=MN^2例2O是等边三角形ABC内一点，已知∠AOB=115,∠BOC=125,求由线段OA,OB,OC构成的三角形的内角。3.对称变换通过作关于某一直线或一点的对称图，把图形中的图形对称到另一个位置上，使分散的条件集中在一起。 当出现以下两种情况时，经常考虑用此变换：1.出现了明显的轴对称、中心对称条件时。2.出现了明显的垂线条件时。例1△ABC中,∠BA

5、C=90,△ACD为等边三角形，已知∠DBC=2∠DBA，求∠DBA。解：由对称可知，△BAE全等于△BAD，DE⊥AB, 所以BE=BD,AE=AD,∠ABE=∠ABD 因为∠DBC=2∠DBA所以∠DBC=∠DBE 在BC上取点F，使BF=BE 又因为∠BAC=90 ，DE⊥AB 所以DE∥BC，∠ADE=∠DAC=60 所以ADE是等边三角形 DE=AD=DC 因为EF关于BD对称 所以DF=DE=DC ,BF=BE=BD, 设∠DBA=a 则∠DBF=2a 因为BF=BD，所以∠BFD=（180-2a）/2=90-a 由于DF=DC ，所以∠DCF=90-a ∠ACB

6、=180-60-（90-a）=30+a 因为∠ABC+∠ACB=90，即 a+2a+30+a=90，a=15所以∠DBA=a=15例2已知D是△ABC中BC边的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF，证明BE+CF＞EF。