微积分(刘迎东)第十章习题答案.doc

微积分(刘迎东)第十章习题答案.doc

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1、10.1第一型曲线积分习题10.11.设在面内有一分布着质量的曲线弧,在点处它的线密度为。用第一型曲线积分分别表达(1)这曲线弧对轴、对轴的转动惯量解:(2)这曲线弧的质心坐标解:2.计算下列第一型曲线积分:(1)其中为圆周解:(2)其中为连接及两点的直线段。解:(3)其中为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界。解:(4)其中为圆周,直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界。解:(5)其中为曲线上相应于从变到的这段弧。解:(6)其中为折线,此处依次为点解:所以(7)其中为摆线的一拱解:(8)其中为曲线解:(9)其中为曲线解

2、:(10)其中为圆周解:(11)其中为由三点所连接的闭折线。解:(12)其中为螺旋线解:(13)其中为抛物线自点到点的一段;解:(14)其中为内摆线的弧;解:(15)其中为圆周解:1.求半径为的半圆形金属丝(设线密度为常数)对位于圆心的质点(设质量为)的引力。解:设圆心为原点,金属丝占据上半圆周。则1.求物质曲线的质量,其线密度解:2.求半径为,中心角为的均匀圆弧(线密度)的质心。解:设圆心在原点,关于轴对称,则;3.设螺旋形弹簧一圈的方程为其中,它的线密度。求(1)它关于轴的转动惯量(2)它的质心。解:(1)(2)10.2

3、第二型曲线积分习题10.21.设为面内直线上的一段。证明:证明:设则2.设为面内轴上从点到点的一段直线。证明:证明:则3.计算下列第二型曲线积分:(1)其中为抛物线上从点到点的一段弧;解:(2)其中为圆周及轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);解:圆周的参数方程为所以(3)其中为圆周上对应从到的一段弧;解:(4)其中为圆周(按逆时针方向绕行);解:(5)其中为曲线上对应从到的一段弧;解:(6)其中为从点到点的一段直线;解:(7)其中为有向闭折线,此处依次为点解:(8)其中为抛物线上从点到点的一段弧;解:

4、(9)其中为沿逆时针一周;解:(10)其中为如图10.8由点到点的四条不同的路径;解:(11)其中为如图10.9的三角形;解:(12)其中为用平面截球面所得的截痕,从轴的正向看去,沿逆时针方向;解:(13)其中为曲线上由到的一段弧;解:1.计算其中为由点到点的下列四条不同路径:(1)直线解:(2)抛物线解:(3)抛物线解:(4)立方抛物线解:1.计算其中分别为下列两种情形:(1)连接的直线段。解:(2)连接的折线段。解:2.计算其中分别为下列两种情形:(1)连接的直线段。解:(2)连接的折线段。解:3.计算其中为以为顶点的正

5、方形闭路。解:4.计算其中为星形线在第一象限中自点到的一段。解:1.计算其中为依参数增加方向进行的曲线:解:2.计算其中,分别为下列两种情形:(1)自到的直线段;(2)由直到的折线段。解:(1)(2)3.计算其中为球面在第一卦限部分的边界线由点至再至的一段。解:4.弹性力的方向向着坐标原点,力的大小与质点到坐标原点的距离成正比。设质点在力作用下沿椭圆依逆时针方向运动一周,求弹性力做的功。解:5.计算其中为圆周其方向为从轴正向看去,这圆周是沿逆时针方向进行的。解:1.设在光滑曲线上连续。试证下面的估计式:其中为积分路径的长度,

6、证明:2.计算其中分别为(1)抛物线上从点到点的一段弧;解:(2)从点到点的直线段;解:(3)先沿直线从点到点,然后再沿直线到点的折线;解:(1)曲线上从点到点的一段弧;解:1.一力场由沿横轴正方向的恒力所构成。试求当一质量为的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功。解:2.设轴与重力的方向一致,求质量为的质点从位置沿直线移到时重力所做的功。解:,3.把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分,其中为(1)在面内沿直线从点到点;解:(2)沿抛物线从点到点;解:(3)沿上半圆周从点到点;解:4.设为曲线上相

7、应于从变到的曲线弧。把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分。解:切向量为,单位化为所以10.3格林公式及其应用习题10.31.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性:(1)其中为由抛物线和所围成的区域的正向边界曲线;解:(2)其中为由四个顶点分别为和的正方形区域的正向边界;解:2.利用曲线积分,求下列曲线所围成的图形的面积:(1)星形线(2)椭圆(1)圆(2)椭圆(3)双纽线1.计算曲线积分其中为圆周的方向为逆时针方向。解:,所以取则有2.计算下列曲线积分:(1)其中为摆线上对应从到的一段弧。解:设直线段,则(2)其中为上

8、半圆周沿逆时针方向。解:设直线段,则1.证明下列曲线积分在整个面内与路径无关,并计算积分值:(1)解:易得,所以曲线积分在整个面内与路径无关,(2)解:易得,所以曲线积分在整个面内与路径无关,(3)解:易得,所以曲线积分在整个面内与路径无关,2.利用格林公式,计算下列曲线积分:(1)其中为

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