椭圆的“垂径定理”.doc

《椭圆的“垂径定理”.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、每日一题[677]椭圆的“垂径定理”已知椭圆()，为椭圆内不在坐标轴上一点．过作不过原点的直线交椭圆于两点，恰为的中点，过作的垂线交椭圆于两点，为弦的中点．记到直线的距离为，求的最大值．分析与解　不妨设，，则根据椭圆的“垂径定理”，可得直线的斜率为，于是进而由，可得设，则由椭圆的“垂径定理”，有又于是因此记()，，则等号当且仅当时取得．因此所求的最大值为． 我们都知道垂径定理是圆的重要性质，其内容为：已知圆中有一条非直径的弦，那么这条弦垂直于过其中点的直径．    对于椭圆也有类似的性质，我们称之为椭圆的“垂径定理”，描述如下：已知不过原点O O的直线与椭圆x 2 a 2  +y 

2、2 b 2  =1 x2a2+y2b2=1交于A A、B B两点，M M为弦AB AB的中点，则直线AB AB与直线OM OM的斜率之积k AB ⋅k OM =−b 2 a 2  . kAB⋅kOM=−b2a2.注一  当a=b=r a=b=r时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定理；注二  这里并不要求a>b a>b，也就是说此结论对焦点在x x轴和焦点在y y轴上的椭圆均适用；注三  双曲线x 2 a 2  −y 2 b 2  =1 x2a2−y2b2=1的垂径定理中的斜率之积k AB ⋅k OM =b 2 a 2  . kAB⋅kOM=b2a2.     点差法是证明这一

3、性质的最好方法：设A(x 1 ,y 1 ) A(x1,y1)，B(x 2 ,y 2 ) B(x2,y2)，则x 2 1 a 2  +y 2 1 b 2  =1x 2 2 a 2  +y 2 2 b 2  =1  x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1两式相减，有x 2 1 −x 2 2 a 2  +y 2 1 −y 2 2 b 2  =0, x12−x22a2+y12−y22b2=0,两边同时除以x 2 1 −x 2 2  x12−x22，并化简可得y 2 1 −y 2 2 x 2 1 −x 2 2  =−b 2 a 2  , y12−y22x12−x22=−b2a2

4、,利用平方差公式变形，有y 1 −y 2 x 1 −x 2  ⋅y 1 +y 2 2 −0x 1 +x 2 2 −0 =−b 2 a 2  , y1−y2x1−x2⋅y1+y22−0x1+x22−0=−b2a2,此即欲证性质．     证明这一性质的方法，以及这一性质都是解析几何重点学习和掌握的内容．下面就举例说明这一性质的应用．