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《正弦定理、余弦定理综合应用典型例题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、正弦定理、余弦定理综合应用例1.设锐角三角形的内角的对边分别为，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求的取值范围．解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得．（Ⅱ）．由为锐角三角形知，，．，所以．由此有，所以，的取值范围为．例2.已知的周长为，且．（I）求边的长；（II）若的面积为，求角的度数．解：（I）由题意及正弦定理，得，，两式相减，得．（II）由的面积，得，由余弦定理，得 ，所以．例3.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（），n＝（cosA,sinA）.若m⊥n，且ac
2、osB+bcosA=csinC，则角B＝.例4.设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求的值；解：由余弦定理得＝故例5.在△中，三个角的对边边长分别为,则的值为. 例6.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，若，则_________________.例7.(2009年广东卷文)已知中，的对边分别为若且，则【解析】由可知,,所以,由正弦定理得,例8.（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于2，的取值范围为.解:设由正弦定理得由锐角得，又，故，例9.（2009全国卷Ⅰ理
3、）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且求b解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.解法二:由余弦定理得:.又,。所以…………………………………①又，，即由正弦定理得，故………②由①，②解得。10.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.解：由cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得cos（AC）cos（A+C）=，cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=,sinAsinC=.又由=ac及正弦定理得w
4、.w.w.k.s.5.u.c.o.m故，或（舍去），于是B=或B=.又由知或所以B=。例11.在中，（Ⅰ）求AB的值。（Ⅱ）求的值。【解析】（1）解：在中，根据正弦定理，，于是（2）解：在中，根据余弦定理，得于是=，从而例12.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，sinC=2sinB，则A=【解析】由sinC=2sinB结合正弦定理得：，所以由于余弦定理得：，所以A=30°.例13．（2010年高考广东卷理科11）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1
5、,b=,A+C=2B,则sinC=.【解析】由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°．由正弦定理知，，即．由知，，则，，.例14.在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则BAC=_______.解析：设，则，由已知条件有，再由余弦定理分别得到，再由余弦定理得，所以．例15．（2010年高考北京卷理科10）在△ABC中，若b=1，c=，，则a=。【解】由正弦定理，解得，又，所以，所以a=b=1。例16．在△ABC中，a,b,c分别为内角A
6、,B,C的对边，且（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得即由余弦定理得故，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。例17．（2010年高考浙江卷理科18）在中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=-。（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC，求b及c的长。解：（Ⅰ）因为cos2C=1-2sin2C=，及0＜C＜π所以sinC=.（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4由c
7、os2C=2cos2C-1=，J及0＜C＜π得cosC=±由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b2±b-12=0解得b=或2所以b=c=4或b=c=4
