线性代数第五章 课后习题及解答.doc

线性代数第五章 课后习题及解答.doc

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1、第五章课后习题及解答1.求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)解:所以,的基础解系为:因此,的属于的所有特征向量为:所以,的基础解系为:因此,的属于的所有特征向量为:(2)解:所以,特征值为:(单根),(二重根)所以,的基础解系为:因此,的属于的所有特征向量为:所以,的基础解系为:因此,的属于的所有特征向量为:(2)解:所以,特征值为:(三重根)所以,的基础解系为:因此,的属于的所有特征向量为:(为不全为零的任意常数)。(3)解:所以,特征值为:(四重根)所以,的基础解系为:因此,的属于的所有特征向量为:()(2)解:所以,特征值

2、为:(三重根)所以,的基础解系为:因此,的属于的所有特征向量为:()(3)解:所以,特征值为:(单根),(单根),(单根),所以,的基础解系为:因此,的属于的所有特征向量为:()所以,的基础解系为:因此,的属于的所有特征向量为:()所以,的基础解系为:因此,的属于的所有特征向量为:()2.已知矩阵的特征值(二重),,求的值,并求其特征向量。解:所以,的基础解系为:因此,的属于3的所有特征向量为:(为不全为零的任意常数)所以,的基础解系为:因此,的属于12的所有特征向量为:()3.设是矩阵不同特征值的特征向量,证明不是的一个特征向

3、量。证:(反证法)若是的属于特征值的一个特征向量,是的属于特征值的特征向量且,则:所以,属于不同特征值线性无关即与矛盾。所以,不是的一个特征向量。2.设分别是矩阵对应于互不相同的特征值的特征向量,证明不是的一个特征向量。证:类似3题可证。3.证明对合矩阵(即)的特征值只能为1或.证:的特征值只有1.若为的特征值,则为的特征值的特征值只能为1或.2.设可逆,讨论与的特征值(特征向量)之间的相互关系。解:若则.3.若问:是否成立?解:成立。4.已知求解:相似矩阵具有相同的特征值5.已知求解:10.设是矩阵属于特征值的特征向量。证明:

4、是矩阵对应其特征值的一个特征向量。证:11.设为非奇异矩阵,证明与相似。证:为非奇异矩阵存在与相似12.设证明:证:存在可逆矩阵,使得13.证明:阶矩阵只有零特征值,且特征子空间是的一维子空间,并求它的基。解:只有零特征值。的基础解系为:14.若可逆,不可逆,那么,关于的特征值能做出怎样的断语?解:可逆,不可逆不是的特征值,1是的特征值。14.若证明:1或至少有一个是的特征值。证:或1或至少有一个是的特征值。15.在第1题中,哪些矩阵可对角化?并对可对角化的矩阵,求矩阵和对角矩阵,使得解:由矩阵可对角化的条件及第1题的求解过程易

5、知:(1),(6)可对角化。(1)(2)17.主对角元互不相等的上(下)三角形矩阵是否与对角阵相似(说明理由)?解:可以,因为有个互不相等的特征值。18.设阶矩阵的个元素全为1,试求可逆矩阵使为对角阵,并写出与相似的对角阵。解:所以,特征值为:(单根),(重根)所以,的基础解系为:所以,的基础解系为:所以,与相似的对角阵为:17.已知4阶矩阵的特征值为(三重),对应于的特征向量有对应于的特征向量为问:可否对角化?如能对角化,求出及(为正整数)。解:容易验证,线性无关,所以,可对角化。令则17.设三阶矩阵有二重特征值如果都是对应于

6、的特征向量,问可否对角化?解:所以,线性无关。又因为剩余的那个特征值是单根,所以可对角化。18.已知(1)求(为正整数)。(2)若求解:(1)所以,特征值为:(单根),(单根)所以,的基础解系为:所以,的基础解系为:令则:所以,(2)22.设求(为正整数)。(提示:按对角块矩阵求.)解:令则从而,所以,特征值为:所以,的基础解系为:所以,的基础解系为:令则22.对5.2节例1的矩阵求正交矩阵使为对角阵。解:借助5.2节例1的求解过程,对单位化,对构成的线性无关向量组利用施密特正交化方法进行处理,即得所求的正交矩阵为:22.对下列

7、实对称矩阵求正交矩阵和对角矩阵使(1)(2)(3)(4)(5)(1)解:所以,特征值为:(二重根),(单根)所以,的基础解系为:用施密特正交化方法得:所以,的基础解系为:单位化得:所以,(1),(3),(4),(5)类似(1)可求解。25.设是阶实对称矩阵,且证明存在正交矩阵使得证:设是的对应于特征值的一个特征向量,则:为非零向量或0为实对称矩阵存在正交矩阵使得26.设阶实对称矩阵的特征值证明存在特征值非负的实对称矩阵,使得证:为实对称矩阵存在正交阵使得取则满足条件。27.设为阶实对称幂等矩阵试求解:(求解过程参考p240例4)

8、补充题28.设多项式是矩阵的一个特征值,是对应于的特征向量。证明是的特征值,且仍是对应于的特征向量。证:=是的特征值,且仍是对应于的特征向量29.设证明:证:存在可逆矩阵使得28.设已知0是的二重特征值,1是的(一重)特征值,求矩阵的特征多项式解:的所有特征值为

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