线性代数课后答案_习题5和习题6.doc

《线性代数课后答案_习题5和习题6.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、习题五1.求下列矩阵的特征值和特征向量：1）；2）；3）；4）。并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。解：1），特征值。当时，，故属于的特征向量为（）。当时，，故属于的特征向量为（）。由于线性无关的特征向量个数为2，故可以对角化。2），特征值。当时，，故属于的特征向量为（）。当时，，故属于的特征向量为（）。当时，，故属于的特征向量为（）。由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。3），特征值。当时，，。故属于的特征向量为（不全为零）。当时，，故属于的特征向量为（）。由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。4），特征值。当时，，故属于的特征向量为（）。当时，，故

2、属于的特征向量为（）。由于线性无关的特征向量个数为2，故不可以对角化。2.已知方阵满足，求的所有可能的特征值。解：设是的特征值，则有非零向量满足。于是，。因为非零，所以。即的特征值只能为或。3.设是的特征值，证明：1）是的特征值，（为正整数）是的特征值；2）设是多项式，则是的特征值；3）如果可逆，则是的特征值。证明：1）因为，则。，依此类推，，即是的特征值。2）由1）（为正整数），记，则，即是的特征值。3）如果可逆，对两边左乘有：。又可逆矩阵的特征值不为零（否则，与可逆矛盾）。故。4.设和是的属于两个不同特征值的特征向量，证明不是的特征向量。证明：由题意，设，，，则线

3、性无关。（反证）若是的特征向量，则有：。从而。因为，所以不全为零，于是线性相关，矛盾。故不是的特征向量。5.如果方阵可逆，证明矩阵和相似。证明：因为，所以矩阵和相似。6.设与相似，与相似。证明与相似。证明：因为与相似，与相似，故有可逆矩阵与，使得：，。于是，即与相似。7.计算，其中。解：，特征值。当时，对应的特征向量为；当时，对应的特征向量为；当时，对应的特征向量为。故可取，有，使得：。从而。8.求，的值，使得矩阵与相似，其中，。解：因为的特征值为，由与相似，可得，，。即，从而。9.证明：1）实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数；2）正交矩阵的特征值的模等于1。证明：1）

4、设是实反对称矩阵，是的特征值，则有，。取共轭有。考虑，一方面；另一方面，；于是。又因为，所以。故，即为0或纯虚数。2）设是正交称矩阵，是的特征值，则有，。取共轭有，再转置。所以。因为，所以。故，即的模为1。10.判断下列矩阵是否为正交矩阵：1），2）。解：1）因为，故为正交矩阵；2）不是正交矩阵。11.设为正交矩阵，证明：1）与为正交矩阵；2）为正交矩阵。证明：1）因为为正交矩阵，所以，即。又，故与为正交矩阵。2）因为为正交矩阵，所以，。从而，即为正交矩阵。12.在中，求一单位向量与向量正交。解：设所求向量为，则有。求得基础解系为。故（为任意数）。13.求正交矩阵，使

5、得为对角形：1）；2）。解：1），特征值。当时，，。当时，。由施密特正交化，取，，。令，则。2），特征值。当时，，。当时，。由施密特正交化，取，，。令，则。14.设3阶方阵的特征值为1，2，3；对应的特征向量为，，。求矩阵。解：由题意，令，则有。故。15.设3阶实对称矩阵的特征值为6和3（二重根）。属于6的特征向量为，求及。解：设是实对称矩阵属于特征值为3的特征向量，则有。故特征值为3的特征向量，。令，则。＝。提高题1.设矩阵，，有特征值，属于的一个特征向量为。求和的值。解：因为，所以，即。由于，可得，又，所以。解得：。2.已知3阶矩阵与3维列向量，向量组，，线性无关

6、，且满足。1）记，求3阶矩阵，使得；2）计算行列式。解：1）因为，所以，。由，可得。2）。3．设是阶方阵，记，是的个根（重根按重数计算）。证明：1），称为方阵的迹，记为；2）。证明：因为，令，则有，即2）成立。又由于特征多项式中项由行列式定义知只能出现在内，它的系数为；而中项的系数为。故1）成立。4．设，均为非零实数，，求可逆矩阵，使得为对角阵。解：，它为实对称矩阵。当时，的秩为1，所以是的重根，由上题1）的结果知项系数为。故。当时，可得：，，。由于属于特征值的特征向量与上述向量组正交，所以（）。故。令，则。5．证明上三角正交矩阵必为对角阵。证明：设上三角矩阵正交，则

7、。一方面由第二章习题知也为上三角，另一方面为下三角，故既为三角又为下三角，从而为对角矩阵。6．是正交矩阵，且。证明不可逆。证明：因为，所以，即。又是正交矩阵，所以。即，从而，不可逆。习题六1.写出二次型的矩阵表示形式：1）；2）；3）。解：1）；2）；3）。2.化下列二次型为标准形：1）；2）。解：1）二次型矩阵为，。所以二次型为标准形为。2）二次型矩阵为，等于。所以二次型为标准形为。3.判断下列二次型的正定性：1）；2）；3）。解：1）二次型矩阵为，又，，。所以二次型正定。2）二次型矩阵为，又，，。所以二次型负定。3）取，则；又取，则。所以二次型既