2019届人教数学A版 空间向量及其运算 单元测试Word版含解析.doc

《2019届人教数学A版 空间向量及其运算 单元测试Word版含解析.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2019届人教A版（文科数学）空间向量及其运算单元测试一　空间向量的线性运算例1　(1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝.(2)三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.【解析】　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋[(＋)－]学,,]＝－＋＋.＝＋＝－＋＋＝＋＋.【答案】＋＋点拨　用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何

2、中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．学巩固1如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)＋.二　共线定理、共面定理的应用例2　如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)．【解析】证明　(1)连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．(

3、3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知＝，同理＝，所以＝，即EH綊FG，所以四边形EFGH是平行四边形，所以EG，FH交于一点M且被M平分．故＝(＋)＝＋＝[(＋)]＋[(＋)]学]＝(＋＋＋)．点拨　(1)证明空间三点P，A，B共线的方法①＝λ(λ∈R)；②对空间任一点O，＝＋t(t∈R)；③对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法①＝x＋y；②对空间任一点O，＝＋x＋y；③对空间任一点O，＝x＋y＋(x＋y＋＝1)；④∥(或∥或∥)．巩固2已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝

4、(＋＋)．学](1)判断，，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．三　空间向量数量积的应用例3　如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；(3)求证：AA1⊥BD.(2)【解析】　设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，则cosθ＝

5、cos〈，〉

6、＝.∵＝a＋b＋c，＝b－c，学∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，

7、

8、＝＝＝＝.∴cosθ＝＝

9、

10、＝.故异面直线AC1

11、与A1D所成角的余弦值为.点拨　(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角；(3)可以通过

12、a

13、＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．巩固3如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求的长；(2)求与夹角的余弦值．变式：如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．(1)求的模；(2)求cos〈，〉的

14、值；(3)求证：A1B⊥C1M.(1)【解析】　如图，建立空间直角坐标系．依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，所以

15、

16、＝＝.

17、](3)证明　依题意得C1(0,0,2)，M(，，2)，＝(－1,1，－2)，＝(，，0)．所以·＝－＋＋0＝0，所以⊥，即A1B⊥C1M.巩固4（2018全国新课标Ⅱ理）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．答案与解析巩固2【解析】　(1)由题意知＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－)即＝＋＝－－，∴，，共面．学](2)由(1)知，，共面且基线过同一点M，∴M，A，B，C四点共面．从而点M在平面ABC内．学巩固3【解析】　(1)记

18、＝a，＝b，＝c，则

19、a

20、＝

21、b

22、＝

23、c

24、＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝.

25、

26、2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6，∴

27、

28、＝，即AC1的长为.(2)＝b＋c－a，＝a＋b，∴

29、

30、＝，

31、

32、＝，·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，∴cos〈，〉＝＝.即与夹角的余弦值为.【答案】C