2019届高考数学人教A版一轮复习学案：第2章 函数概念与基本初等函数I 第3节.doc

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1、第3节　函数的奇偶性与周期性最新考纲　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.知识梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)

2、＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.[常用结论与微点提醒]1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(

3、x

4、).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a

5、)＝，则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.(　　)(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　)(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(　　)(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.(　　)解析　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(

6、0)＝0，(2)错.(3)由周期函数的定义，(3)正确.(4)由于y＝f(x＋b)的图象关于(0，0)对称，根据图象平移变换，知y＝f(x)的图象关于(b，0)对称，正确.答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是(　　)A.y＝x2sinxB.y＝x2cosxC.y＝

7、lnx

8、D.y＝2－x解析　根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数.答案　B3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[

9、a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)A.－B.C.D.－解析　依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a＝，则a＋b＝.答案　B4.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________.解析　∵f(x)的周期为2，∴f＝f，又∵当－1≤x<0时，f(x)＝－4x2＋2，∴f＝f＝－4×＋2＝1.答案　15.(2017·山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.解析　∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f[(x＋2)＋4

10、]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，又f(x)在R上是偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.答案　6考点一　函数的奇偶性【例1】(1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.解析　f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋)为奇函数，所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.答案　1(2)判断下列函数的奇偶性：①f(x)＝＋；②f(x)＝；③f(x)＝解　①由得x2＝3，解得x＝±，即函数f(x)的定义域

11、为{－，}，从而f(x)＝＋＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.②由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.∴x－2<0，∴

12、x－2

13、－2＝－x，∴f(x)＝.又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数.③显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知：对于定义域内的