西安交通大学计算方法C讲义.doc

西安交通大学计算方法C讲义.doc

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1、计算方法(C)目录第1章绪论1.1数值计算1.2数值方法的分析1.2.1计算机上数的运算1.2.2算法分析第2章线性代数方程组2.1Gauss消去法2.1.1消去法2.1.2主元消去法2.2矩阵分解2.2.1Gauss消去法的矩阵意义2.2.2矩阵的LU分解及其应用2.2.3其他类型矩阵的分解2.2.4解三对角矩阵的追赶法2.3线性方程组解的可靠性2.3.1向量和矩阵范数2.3.2残向量与误差的代数表征2.4解线性方程组解的迭代法2.4.1基本迭代法2.4.2迭代法的矩阵表示2.4.3收敛性第3章数据近似3.1多项

2、式插值3.1.1插值多项式3.1.2Lagrange插值多项式3.1.3Newton插值多项式3.1.4带导数条件的插值多项式3.1.5插值公式的余项3.2最小二乘近似3.2.1最小二乘问题的法方程3.2.2正交化算法第4章数值微积分4.1内插求积,Newton-Cotes公式4.1.1Newton-Cotes公式4.1.2复化求积公式4.1.3步长的选取4.1.4Romberg方法4.1.5待定系数法4.2数值微分4.2.1插值公式方法4.2.2Taylor公式方法(待定系数法)4.2.3外推法第5章非线性方程求

3、解5.1解一元方程的迭代法5.1.1简单迭代法5.1.2Newton法5.1.3割线法5.1.4区间方法5.2收敛性问题5.2.1简单迭代——不动点5.2.2收敛性的改善5.2.3Newton法的收敛性5.2.4收敛速度第1章绪论1.1数值计算现代科学的发展,已导致科学与技术的研究从定性前进到定量,尤其是现代数字计算机的出现及迅速发展,为复杂数学问题的定量研究与解决,提供了强有力的基础。通常我们面对的理论与技术问题,绝大多数都可以从其物理模型中抽象出数学模型,因此,求解这些数学模型已成为我们面临的重要任务。一、本课

4、程的任务:寻求解决各种数学问题的数值方法——如何将高等数学的问题回归到初等数学(算术)的方法求解——了解计算的基础方法,基本结构(否则只须知道数值软件)——并研究其性质。立足点:面向数学——解决数学问题面向计算机——利用计算机作为工具充分发挥计算机的功能,设计算法,解决数学问题例如:迭代法、并行算法二、问题的类型1、离散问题:例如,求解线性方程组——从离散数据:矩阵A和向量b,求解离散数据x;2、连续问题的离散化处理:例如,数值积分、数值微分、微分方程数值解;3、离散问题的连续化处理:例如,数据近似,统计分析计算;

5、1.2数值方法的分析在本章中我们不具体讨论算法,首先讨论算法分析的基础——误差。一般来讲,误差主要有两类、三种(对科学计算):1)公式误差——“截断误差”,数学计算,算法形成——主观(人为):数学问题-数值方法的转换,用离散公式近似连续的数学函数进行计算时,一般都会发生误差,通常称之为“截断误差”;——以后讨论2)舍入误差及输出入误差——计算机,算法执行——客观(机器):由于计算机的存储器、运算器的字长有限,在运算和存储中必然会发生最末若干位数字的舍入,形成舍入误差;在人机数据交换过程中,十进制数和二进制数的转换也

6、会导致误差发生,这就是输入误差。这两种误差主要是由于计算机的字长有限,采用浮点数系所致。首先介绍浮点数系1.2.1计算机上的运算——浮点运算面向计算机设计的算法,则先要讨论在计算机上数的表示。科学记数法——浮点数:约定尾数中小数点之前的数全为零,小数点后第一个数不能为零。目前,一般计算机都采用浮点数系,一个存储单元分成首数和尾数:××┅┅┅┅×××┅┅┅┅┅┅┅┅××首数尾数(位)其中首数存放数的指数(或“阶”)部分,尾数存放有效数字。对于b进制,尾数字长为t位的浮点数系中的(浮点)数,可以用以下形式表示:此处,指

7、数(称为阶)限制在范围内。以下记实数系中的实数为,它在浮点数系中对应的浮点数记为——进制,尾数位数,阶的范围。几乎所有近代计算机都采用“二进制”(即):位、字节和字分别是指位数不同的二进制数。例如十进制转换二进制100000001200000010400000100800001000900001001100000101027位是一个二进制数(即0或1);字节是8个二进制数字;上表的最后一列是字节。单精度浮点数(singleprecision)按32位存储,双精度浮点数(doubleprecision)按64位存储。

8、精度用于指明每个浮点数保留多少位以及尾数和阶数各分配多少位。单精度浮点数的尾数为23位、阶数为8位;双精度浮点数的尾数为53位(包含符号位)、阶数为11位(包含符号位)。双精度浮点数的等价二进制数如下所示:浮点数的特点:1、实数转换到浮点数——浮点化,〈缺点:〉总会产生误差(除极个别的情况:)按四舍五入,绝对误差:(举例),〈优点:〉浮点化产生的相对误差有界

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