2019高考数学(理科)压轴提升练(二) Word版含解析.doc

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1、压轴提升练(二)1.(本题满分12分)如图,在多面体ABCDPE中,四边形ABCD和CDPE都是直角梯形,AB∥DC,PE∥DC,AD⊥DC,PD⊥平面ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F是CE的中点.(1)求证:BF∥平面ADP;(2)求二面角BDFP的余弦值.解:(1)取PD的中点G,连接FG,AG,如图所示,∵F是CE的中点,∴FG是梯形CDPE的中位线,∵CD=3PE,∴FG=2PE,∵FG∥CD∥AB,AB=2PE,∴AB∥FG,AB=FG,即四边形ABFG是平行四边形,∴BF∥AG,又BF⊄平面ADP,AG⊂平面ADP,∴BF∥平面ADP.(

2、2)解法一:∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD,又AD⊥DC,且PD∩CD=D,∴AD⊥平面CDPE.过点B作BM⊥CD于点M,易知BM∥AD,∴BM⊥平面CDPE.令PE=1,则BM=DM=2,连接FM,由(1)易得FM=1,如图,过点M作MN⊥DF交DF于点N,连接BN,则∠BNM为所求二面角的平面角的补角.∵DM=2,FM=1,∴DF=,则MN=.∴tan∠BNM==,则cos∠BNM=,∴二面角BDFP的余弦值为-.解法二:∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD,又AD⊥DC,且PD∩DC=D,∴AD⊥平面CDPE.以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴

3、,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设PE=1,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,3,0),D(0,0,0),P(0,0,2),E(0,1,2),F(0,2,1),∴=(2,2,0),=(0,2,1),设平面BDF的法向量为n=(x,y,z),则即令y=-1,则x=1,z=2,∴n=(1,-1,2),为平面BDF的一个法向量.∵平面PDF的一个法向量为=(2,0,0),且二面角BDFP的平面角为钝角,∴二面角BDFP的余弦值为-

4、cos〈,n〉

5、=-.2.(本题满分12分)已知函数f(x)=x2-ax+2lnx(其中a是实数).(1)求f(x

6、)的单调区间;(2)若设2<a<,且f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),求f(x1)-f(x2)的取值范围.(其中e为自然对数的底数).解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2x-a+=,令g(x)=2x2-ax+2,其图象的对称轴为直线x=,g(0)=2,令g(x)=0,Δ=a2-16,当Δ=a2-16≤0,即-4≤a≤4时,f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,于是,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.当Δ=a2-16>0,即a<-4或a>4时,①若a<-4,则f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,于是,函数f(x

7、)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.②若a>4,令f′(x)=0,得x3=,x4=,当x∈(0,x3)∪(x4,+∞)时,f′(x)>0,当x∈(x3,x4)时,f′(x)<0.于是,函数f(x)的单调递增区间为(0,x3)和(x4,+∞),单调递减区间为(x3,x4).综上所述,当a≤4时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.当a>4时,函数f(x)的单调递增区间为(0,x3)和(x4,+∞),单调递减区间为(x3,x4).(2)由(1)知,若f(x)有两个极值点,则a>4,且x1+x2=>0,x1x2=1,∴0<x1<1<x2,∵2

8、x-ax1+2=0,∴a=2,又2<a<,∴e+<x1+<3+,又0<x1<1,∴<x1<.于是,f(x1)-f(x2)=(x-ax1+2lnx1)-(x-ax2+2lnx2)=(x-x)-a(x1-x2)+2(lnx1-lnx2)=(x1-x2)·-a(x1-x2)+2ln=-·+4lnx1=-x+4lnx1.令h(x)=-x2+4lnx,则h′(x)=<0恒成立,∴h(x)在上单调递减,∴h<h(x)<h,即e2--4<f(x1)-f(x2)<-4ln3,故f(x1)-f(x2)的取值范围为.

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