2019高考数学(理科)压轴提升练(三) Word版含解析.doc

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1、压轴提升卷(三)1.(本题满分12分)在平面直角坐标系中,点F1、F2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线C的离心率为2,点在双曲线C上.不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称,且四边形PF1QF2的周长为4.(1)求动点P的轨迹方程;(2)在动点P的轨迹上有两个不同的点M(x1,y1)、N(x2,y2),线段MN的中点为G,已知点(x1,x2)在圆x2+y2=2上,求

2、OG

3、·

4、MN

5、的最大值,并判断此时△OMN的形状.解:(1)设点F1、F2分别为(-c,0),(c,0)(c>0),由已知=2,所以c=

6、2a,c2=4a2,b2=c2-a2=3a2,又因为点在双曲线C上,所以-=1,则b2-a2=a2b2,即3a2-a2=3a4,解得a2=,a=.所以c=1.连接PQ,因为OF1=OF2,OP=OQ,所以四边形PF1QF2为平行四边形,因为四边形PF1QF2的周长为4,所以

7、PF2

8、+

9、PF1

10、=2>

11、F1F2

12、=2.所以动点P的轨迹是以点F1、F2分别为左、右焦点,长轴长为2的椭圆(除去左右顶点).可得动点P的轨迹方程为:+y2=1(y≠0)(2)因为x+x=2,+y=1,+y=1,所以y+y=1,所以

13、OG

14、·

15、MN

16、=

17、MN

18、

19、·

20、OG

21、===≤=.等号当且仅当3-2x1x2-2y1y2=3+2x1x2+2y1y2,即x1x2+y1y2=0,所以OM⊥ON,即△OMN为直角三角形2.(本题满分12分)设函数f(x)=aln(x+1),g(x)=ex-1,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.(1)当x≥0时,f(x)≤g(x)恒成立,求a的取值范围;(2)求证:<<.(参考数据:ln1.1≈0.095)解:(1)令H(x)=g(x)-f(x)=ex-1-aln(x+1)(x≥0),则H′(x)=ex-(x≥0),①若a≤1,则≤1≤ex,H′(x)

22、≥0,H(x)在[0,+∞)上单调递增,H(x)≥H(0)=0,即f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立,所以a≤1满足题意;②若a>1,则H′(x)=ex-在[0,+∞)上单调递增,所以H′(x)≥H′(0)=1-a,1-a<0,又x→+∞时,H′(x)→+∞,所以∃x0∈(0,+∞)使H′(x0)=0,则H(x)在[0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以当x∈(0,x0)时,H(x)<H(0)=0,即当x∈(0,x0)时,f(x)>g(x),不满足题意,舍去;综合①②,知a的取值范围为(-∞,1].(2)由(1

23、)知,当a=1时,ex>1+ln(x+1)对x>0恒成立,令x=,则e>1+ln1.1≈1.095=,即>;由(1)知,当a>1时,则H(x)在[0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,则H(x0)<H(0)=0,即ex0-1-aln(x0+1)<0,又H′(x0)=0,即ex0=,令a=e>1,即x0=,则e<≈,故有<<.

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