专题6.5 数列综合问题（测）-2019年高考数学一轮复习讲练测（江苏版） Word版含解析.doc

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1、1．若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是.现已知数列是等比数列，且，则数列中满足的正整数的个数为.【答案】【解析】由条件求得，因此个数为2．设数列满足，则的值为.【答案】3．已知两个无穷数列分别满足，，其中，设数列的前项和分别为，（1）若数列都为递增数列，求数列的通项公式；（2）若数列满足：存在唯一的正整数（），使得，称数列为“坠点数列”①若数列为“5坠点数列”，求；②若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是否存在正整数，

2、使得，若存在，求的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1），（2）①②【解析】（1）数列都为递增数列，∴，，∴，；4．设数列的各项均为正数，的前项和，．（1）求证：数列为等差数列；（2）等比数列的各项均为正数，，，且存在整数，使得．（i）求数列公比的最小值（用表示）；（ii）当时，，求数列的通项公式．【答案】（1）详见解析（2）（i）（ii）所以．③由得，，即④，当时，④恒成立．当时，④两边取自然对数，整理得，．⑤当时，同理有，所以公比的最小值为（整数），当时，，只能，此时，不符；当时，，只能，

3、此时，符合；综上，．5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an＝(－1)nSn＋pn(p为常数，p≠0)．（1）求p的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设集合An＝{a2n－1，a2n}，且bn，cnAn，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn．若b1≠c1，求证：对任意n∈N*，Pn≠Qn．【答案】（1）－（2）（3）详见解析（3）An＝{－，}，由于b1≠c1，则b1与c1一正一负，6．已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N*，都

4、有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2．（1）求a3，a5；（2）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；（3）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.【答案】（1）a3＝6，a5＝20（2）详见解析（3）Sn＝【解析】(1)由题意，令m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20，(2)当n∈N*时，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝

5、2a2n＋1＋8于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8w_ww.k#s5_u.co*m即bn＋1－bn＝8所以{bn}是公差为8的等差数列．(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列则bn＝8n－2，即a2n+1－a2n－1＝8n－2另由已知(令m＝1)可得an＝-(n－1)2.那么an＋1－an＝－2n＋1＝－2n＋1＝2n于是cn＝2nqn－1.当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)当q≠1时，S

6、n＝2q0＋4q1＋6q2＋……＋2nqn－1.两边同乘以q，可得：qSn＝2q1＋4q2＋6q3＋……＋2nqn.上述两式相减得：(1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn＝2－2nqn＝2所以Sn＝2综上所述，Sn＝．7．已知数列{an}，{bn}满足：bn＝an＋1－an（n∈N*）．（1）若a1＝1，bn＝n，求数列{an}的通项公式；（2）若bn＋1bn－1＝bn（n≥2），且b1＝1，b2＝2．（ⅰ）记cn＝a6n－1（n≥1），求证：数列{cn}为等差数列；（ⅱ）若

7、数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a1应满足的条件．【答案】（1）an＝（2）（ⅰ）详见解析（ⅱ）详见解析即数列{a6(n－1)＋i}均为以7为公差的等差数列．设fk＝（其中n＝6k＋i，k≥0，8．已知数列{an}的前n项的和为Sn，记bn＝．（1）若{an}是首项为a，公差为d的等差数列，其中a，d均为正数．①当3b1，2b2，b3成等差数列时，求的值；②求证：存在唯一的正整数n，使得an+1≤bn＜an+2．（2）设数列{an}是公比为q(q＞2)的等比数列，若存在r，t

8、(r，t∈N*，r＜t)使得求q的值．【答案】（1）①②详见解析（2）【解析】（1）①因为3b1，2b2，b3成等差数列，所以4b2＝3b1＋b3，即4×＝3(2a＋d)＋，解得，．②由an＋1≤bn＜an＋2，得a＋nd≤＜a＋(n＋1)d，整理得因为q＞2，n≥2，所以(q－1)n2＋2(q－2)n－3＞n2－3≥1＞0，所以f(n＋1)－f(n)＞0，即f(n＋1)＞f(n)，即f(n)单调递增．所以当r≥2时，t＞r≥2，则f(t)＞f(r)，即，这与互相矛盾．所以r＝1，