2020年高考数学二轮微专题突专题28 利用导数研究函数的极值(解析版).docx

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1、专题28利用导数研究函数的极值一、例题选讲题型一、求函数的极值点讨论或者证明函数极值点或者极值点的个数问题，转化为导函数为0的根的个数。求函数的极值点通过研究函数的单调性来解决。例1、(2018苏北四市期末）已知函数f(x)＝x2＋ax＋1，g(x)＝lnx－a(a∈R)．(1)当a＝1时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的极值；规范解答(1)函数h(x)的定义域为(0，＋∞)．当a＝1时，h(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋x－lnx＋2，所以h′(x)＝2x＋1－＝.(2分)令h′(x)＝0得x＝(x＝－1舍)，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：xh′(x)－0＋

2、h(x)极小值所以当x＝时，函数h(x)取得极小值＋ln2，无极大值．(4分)例2、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)＝x(ex－2)，g(x)＝x－lnx＋k，k∈R，e为自然对数的底数．记函数F(x)＝f(x)＋g(x)．(1)求函数y＝f(x)＋2x的极小值；规范解答(1)y＝f(x)＋2x＝xex，由y′＝(1＋x)ex＝0，解得x＝－1.16/16列表如下：x(－∞，－1)－1(－1，＋∞)y′－0＋y↘极小值↗　　所以当x＝－1时，函数y取得极小值－.(2分)例3、(2016苏北四市期末）已知函数f(x)＝exx3－2x2＋(a＋4)x－2a－4，其中a

3、∈R，e为自然对数的底数．(1)若函数f(x)的图像在x＝0处的切线与直线x＋y＝0垂直，求a的值；(2)关于x的不等式f(x)<－ex在(－∞，2)上恒成立，求a的取值范围；(3)讨论函数f(x)极值点的个数．思路分析第(2)小题中的恒成立可以考虑将实数a与x分离，将问题转化求函数g(x)＝－(x－2)2(x∈(－∞，2))的最值问题，也可以考虑关于x不等式在x∈(－∞，2)恒成立，注意到x＝2是方程x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8＝0的一个根，从而将原不等式因式分解并从区间根的角度入手求实数a的取值范围；第(3)小题关键是将所求的问题转化成讨论函数g(x)＝x3－x2＋ax

4、－a的单调性与极值问题，另一种思路是由f′(x)＝exx3－x2＋ax－a＝0得a＝(x≠1)，将问题转化成函数y＝a和y＝(x≠1)的图像交点个数问题．规范解答(1)由题意，f′(x)＝ex，(2分)因为f(x)的图像在x＝0处的切线与直线x＋y＝0垂直，所以f′(0)＝1，解得a＝－1.(4分)(2)解法1由f(x)<－ex，得exx3－2x2＋(a＋4)x－2a－4<－ex，16/16即x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8<0对任意x∈(－∞，2)恒成立，(6分)即(6－3x)a>x3－6x2＋12x－8对任意x∈(－∞，2)恒成立，因为x<2，所以a>＝－(x－2)2，(8

5、分)记g(x)＝－(x－2)2，因为g(x)在(－∞，2)上单调递增，且g(2)＝0，所以g(x)max＝0.所以a≥0，即a的取值范围是[0，＋∞).(10分)解法2由f(x)<－ex，得exx3－2x2＋(a＋4)x－2a－4<－ex，即x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8<0在(－∞，2)上恒成立，(6分)因为x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8<0等价于(x－2)(x2－4x＋3a＋4)<0，①当a≥0时，x2－4x＋3a＋4＝(x－2)2＋3a>0恒成立，所以原不等式在(－∞，2)上恒成立，满足题意．(8分)②当a<0时，记g(x)＝x2－4x＋3a＋4，有g(2)＝

6、3a<0，所以方程x2－4x＋3a＋4＝0必有两个根x1，x2，且x1<2

7、≥0在R上恒成立，所以Δ＝(－2)2－4a≤0，得a≥1.(12分)(ⅱ)当g(x)极值同号时，设x1，x2为极值点，则g(x1)·g(x2)≥0，16/16由g′(x)＝x2－2x＋a＝0有解，得Δ＝(－2)2－4a>0，所以a<1，且x－2x1＋a＝0，x－2x2＋a＝0，即x＝2x1－a，x＝2x2－a，所以x1＋x2＝2，x1x2＝a，所以g(x1)＝x－x＋ax1－a＝x1(2x1－a)－x＋ax1－a＝－x－ax1＋ax1－a＝－(