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《2018-2019版数学高二同步系列课堂讲义北师大版选修4-4试题：第二章 参数方程 2.4 Word版含答案.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§4 平摆线和渐开线课后篇巩固探究A组1.已知圆的渐开线的参数方程x=cosφ+sinφ,y=sinφ-cosφ(φ为参数),则此渐开线对应基圆的面积是( ) A.1B.πC.2D.2π解析:由参数方程知基圆的半径为1,故其面积为π.答案:B2.下列各点中,在圆的摆线x=φ-sinφ,y=1-cosφ(φ为参数)上的是( )A.(π,0)B.(π,1)C.(2π,2)D.(2π,0)解析:依次将点代入验证即可.答案:D3.如图,ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”,其中AE,
2、EF,FG,GH…的圆心依次按B,C,D,A循环,它们依次相连接,则曲线AEFGH的长是( )A.3πB.4πC.5πD.6π解析:根据渐开线的定义可知,AE是半径为1的14圆周长,长度为π2,继续旋转可得EF是半径为2的14圆周长,长度为π;FG是半径为3的14圆周长,长度为3π2;GH是半径为4的14圆周长,长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.答案:C4.导学号73144041我们知道关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的平摆线x=r(φ-sinφ),y=r(1-cosφ)(φ为参数)关于直线y=x对称的曲线的参数方程
3、为( )A.x=r(φ-sinφ),y=r(1-cosφ)(φ为参数)B.x=r(1-cosφ),y=r(φ-sinφ)(φ为参数)C.x=rsinφ,y=r(1-cosφ)(φ为参数)D.x=r(1-cosφ),y=rsinφ(φ为参数)解析:关于直线y=x对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x与y的互换.所以要写出平摆线方程关于直线y=x的对称曲线方程,只需把其中的x与y互换.答案:B5.当φ=π2时,圆的平摆线x=4φ-4sinφ,y=4-4cosφ(φ为参数)上对应的点的坐标是 . 答案:(2π-4,4)6.
4、已知一个圆的平摆线方程是x=4φ-4sinφ,y=4-4cosφ(φ为参数),则该圆的面积为 ,对应圆的渐开线方程为 . 答案:16π x=4cosφ+4φsinφ,y=4sinφ-4φcosφ(φ为参数)7.已知平摆线的生成圆的直径为80mm,写出平摆线的参数方程,并求其一拱的拱宽和拱高.解∵平摆线的生成圆的半径r=40mm,∴此平摆线的参数方程为x=40(t-sint),y=40(1-cost)(t为参数),它一拱的拱宽为2πr=2π×40=80π(mm),拱高为2r=2×40=80(mm).8.已知圆的渐开
5、线x=r(cosφ+φsinφ),y=r(sinφ-φcosφ)(φ为参数,0≤φ<2π)上有一点的坐标为(3,0),求渐开线对应的基圆的面积.解把已知点(3,0)代入参数方程得3=r(cosφ+φsinφ),0=r(sinφ-φcosφ),解得φ=0,r=3.所以基圆的面积S=πr2=π×32=9π.9.已知圆C的参数方程是x=1+6cosα,y=-2+6sinα(α为参数),直线l对应的普通方程是x-y-62=0.(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么关系?(2)写出平移后圆的摆线方程.(3)求摆线和x轴的交点.解(1
6、)圆C平移后圆心为O(0,0),圆心到直线x-y-62=0的距离为d=622=6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.(2)因为圆的半径是6,所以可得摆线方程是x=6φ-6sinφ,y=6-6cosφ(φ为参数).(3)令y=0,得6-6cosφ=0⇒cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).代入x=6φ-6sinφ,得x=12kπ(k∈Z),即圆的摆线和x轴的交点为(12kπ,0)(k∈Z).B组1.半径为4的圆的平摆线的参数方程为( )A.x=4cosφ,y=4sinφ(φ为参数)B.x=-4cosφ,y=-4sinφ(φ为参数)
7、C.x=4(φ-sinφ),y=4(1-cosφ)(φ为参数)D.x=4(1-sinφ),y=4(φ-cosφ)(φ为参数)答案:C2.给出下列说法:①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程;②圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程,但是转化后的普通方程比较麻烦,且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③在求圆的平摆线和渐开线方程时,如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同,可能会得到不同的参数方程;④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有( )A.①③B.②④C.②③D.①③④解析:对于一个
8、圆,只要半径确定,渐开线和平摆线的形状就是确定的,但是随着选择坐标系的不同,其在坐标系中的位置也会不同,相应的参数方程也会有所不同,至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置.答案:C3.
