高考数学大一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量基本定理及坐标表示优选学案.doc

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1、第24讲　平面向量基本定理及坐标表示考纲要求考情分析命题趋势1.了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2017·全国卷Ⅰ，132017·全国卷Ⅲ，132017·江苏卷，122016·四川卷，9对平面向量基本定理及坐标表示的考查主要是加、减、数乘及向量共线定理的坐标表示及应用.分值：5分1．两个向量的夹角(1)定义已知两个__非零__向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．(2)范围向量夹角θ的范围是__[0°，180°]__，a与b同

2、向时，夹角θ＝__0°__；a与b反向时，夹角θ＝__180°__.(3)向量垂直若向量a与b的夹角是__90°__，则a与b垂直，记作__a⊥b__.2．平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个__不共线__向量，那么对于这一平面内的任意向量a，__有且只有__一对实数λ1，λ2，使a＝__λ1e1＋λ2e2__.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组__基底__.(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个__互相垂直__的向量，叫做把向量正交分解．(3)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y

3、轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，把有序数对__(x，y)__叫做向量a的坐标，记作a＝__(x，y)__，其中__x__叫做a在x轴上的坐标，__y__叫做a在y轴上的坐标；②设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是__终点A的坐标__，即若＝(x，y)，则点A坐标为__(x，y)__，反之亦成立(O为坐标原点)．3．平面向量的坐标运算向量的加法、减法设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__，a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__向量的数乘设a＝(x

4、，y)，λ∈R，则λa＝__(λx，λy)__向量坐标的求法设O(0,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝__(x1，y1)__，＝__(x2－x1，y2－y1)__4．向量共线的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔__x1y2－x2y1__＝0，特别地，若x2，y2≠0，则a∥b⇔＝.5．三点共线定理若，是平面内不共线的向量，则存在实数λ1，λ2使得＝λ1＋λ2，则当λ1＋λ2＝1时，A，B，C三点共线，特别地，当λ1＝λ2＝时，C是A与B的中点．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．

5、(　√　)(2)平面内任意两个不共线的向量均可作为一组基底．(　√　)(3)向量与的夹角为∠ABC．(　×　)(4)在同一组基底下同一向量的表现形式是唯一的．(　√　)解析　(1)正确．由向量的坐标表示可知向量不论怎样平移，其坐标均为终点坐标减去起点坐标，故平移后坐标不变．(2)正确．由基底的定义可知，只要两向量不共线均可作为一组基底．(3)错误．两向量的夹角，关键要看起点与方向，与的夹角应为∠ABC的补角．(4)正确．由平面向量基本定理可知存在唯一实数对λ，μ，使a＝λe1＋μe2，故其表现形式唯一．2．若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝(　A　)A．(4,6)　　B．

6、(－4，－6)C．(－2，－2)　　D．(2,2)解析　∵＝＋，∴＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．3．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与同向的单位向量是(　A　)A．　　B．C．　　D．解析　∵A(4,1)，B(7，－3)，∴＝(3，－4)，∴与同向的单位向量为＝.4．(2017·山东卷)已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，则λ＝__－3__.解析　∵a∥b，∴－1×6＝2λ，∴λ＝－3.5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点M，N分别是CD，AB的中点，设＝a，＝b.若＝ma＋nb，则＝__－4__.解析　∵＝＋＋＝－a－b＋a＝a－

7、b，∴m＝，n＝－1，∴＝－4.一　平面向量基本定理的应用(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【例1】(1)在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝____.(2)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝