高考数学总复习 基础知识 第七章 第七节双曲线(一) 理.doc

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1、第七节　双曲线(一)1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质.2.理解数形结合的思想.知识梳理一、双曲线的定义我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线，用符号表示为

4、

5、AF1

6、－

7、AF2

8、

9、＝2a，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做双曲线的焦距．二、双曲线的标准方程当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，其中焦点坐标为F1(c,0)，F2(－c，0)，且c2＝a2＋b2；当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方

10、程为－＝1(a＞0，b＞0)，其中焦点坐标为F1(0，c)，F2(0，－c)，且c2＝a2＋b2.当且仅当双曲线的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才是标准形式．三、双曲线的几何性质方程－＝1－＝1图形范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性关于x轴、y轴及原点对称关于x轴、y轴及原点对称顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－a)，B2(0，a)离心率e＝(e>1)e＝(e>1)渐近线y＝±xy＝±xa，b，c的关系c2＝a2＋b2c2＝a2＋b2基础自测1．(2013·郑州质检)设F1，F2

11、是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3

12、PF1

13、＝4

14、PF2

15、，则

16、PF1

17、＝(　　)A．8　　B．6　　C．4　　D．2解析：依题意有解得

18、PF2

19、＝6，

20、PF1

21、＝8，故选A.答案：A2．(2013·北京东城区)若双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝(　　)A.　B．2　C．3　D．6解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，因为双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，故圆心(3,0)到直线y＝±x的距离等于圆的半径r，则r＝＝.答案：A3．过双曲线x2－y2＝8

22、的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若

23、PQ

24、＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是____________．答案：14＋8　4．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，则

25、＋

26、＝__________.解析：因为F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，所以F1(－，0)，F2(，0)．由题意知△F1PF2为直角三角形，∴

27、＋

28、＝2

29、

30、＝

31、F1F2

32、＝2.答案：21．(2013·湖南卷)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若

33、PF1

34、＋

35、PF2

36、＝6

37、a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为__________．解析：设P点在右支上，m＝

38、PF1

39、，n＝

40、PF2

41、，则⇒m＝4a，n＝2a，依题意，△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，由余弦定理得cos30°＝＝＝，于是可解得e＝＝.答案：2．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点，求

42、

43、MP

44、－

45、FP

46、

47、的最大值及此时点P的坐标．解析：(1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.由题设知＝4，化简得L的

48、方程为－y2＝1.(2)由已知可求得过M，F的直线l方程为y＝－2(x－)，将其代入L的方程得15x2－32x＋84＝0，解得x1＝，x2＝，故可求得l与L的交点坐标分别为T1，T2.因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故

49、

50、MT1

51、－

52、FT1

53、

54、＝

55、MF

56、＝2，

57、

58、MT2

59、－

60、FT2

61、

62、<

63、MF

64、＝2.若P不在直线MF上，在△MFP中有

65、

66、MP

67、－

68、FP

69、

70、<

71、MF

72、＝2.故

73、

74、MP

75、－

76、FP

77、

78、只在点P位于T1时取得最大值2.,1．(2013·江门一模)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的焦距为8，则m＝________.

79、解析：因为在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距为8，所以m＞0，焦点在x轴，所以a2＝m，b2＝m2＋4，所以c2＝m2＋m＋4，又双曲线－＝1的焦距为8，所以：m2＋m＋4＝16，即m2＋m－12＝0，解得m＝3或m＝－4(舍)．答案：32．(2013·韶关二模)设点P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，其中F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF2F1＝3，则双曲线的离心率为__________．解析：因为圆x2＋y2＝a2＋b2的半径r＝＝c，所以F1F2是圆的直径，所以

80、∠F1PF2＝90°.依据双曲线的定义：

81、PF1

82、－

83、PF2

84、＝2a，又因为在Rt△F1PF2中，tan∠PF2F1＝3，即

85、PF1

86、＝3

87、PF2

88、，所以

89、PF1

90、＝3a，

91、PF2

92、＝a，在直角三角形F1PF2中由(3a