高考数学总复习 基本不等式提高知识梳理.doc

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1、基本不等式【考纲要求】1.了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.会用基本不等式解决最大（小）值问题.3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【知识网络】基本不等式重要不等式最大（小）值问题基本不等式基本不等式的应用扩充不等式绝对值不等式柯西不等式【考点梳理】考点一：两个重要不等式及几何意义1．重要不等式：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）.2．基本不等式：如果是正数，那么（当且仅当时取等号“=”）.要点诠释：和两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要

2、求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”。（3）可以变形为：，可以变形为：.3.如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.要点诠释：1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.要点二、用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，

3、应具备三个条件：一正二定三取等。①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。要点三、几个常见的不等式1），当且仅当a=b时取“=”号。2），当且仅当a=b时取“=”号。3）；特别地：；4）5）；6）；7）要点四、绝对值不等式的性质　　1.；2.；要点五、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式：（1）向量形式：设是两个向量，则，当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等号成立。（2）代数形式：①若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；②若a、b、c、d都是正实

4、数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；③若a、b、c、d都是实数，则，当且仅当ac=bd时，等号成立；要点诠释：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；（3）三角形式：设，则。2.三维形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。3.一般形式的柯西不等式（代数形式）：若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。【典型例题】类型一：基本不等式求最值问题【高清课堂：基本不等式基础练习二】例1．设，则的最小值是A．1B．2C．3D．4【解析】当且仅当即时取等号.【答案】D举一反三：【变式1】已知,且，求的最小值及相应的值.

5、【解析】∵,∴,又,∴当且仅当即时取等号∴当时，取最小值.【变式2】求下列函数的最大（或最小）值.（1）；(2)，；(3)，(4)，；(5)，【解析】（1）∵，∴，∴当且仅当，即时取等号∴时，(2)∵，∴当且仅当即时，.(3)∵，∴∴当且仅当即时，.(4)∵，∴∴当且仅当即时，.(5)∵，∴∴当且仅当即时，【变式3】已知且，求的最小值.【解析】方法一：且∴（当且仅当即时等号成立）.∴的最小值是16.方法二：由，得，∵，∴∴当且仅当即时取等号，此时∴的最小值是16.方法三：由得，∴∴当且仅当时取等号，∴的最小值是16.类型二：利用基本不等式证明不等式例2.已知，，，求证：，，中至少有

6、一个小于等于.证明：假设则有〔＊〕又∵与〔＊〕矛盾举一反三：【变式1】已知、、都是正数，求证：【解析】∵、、都是正数∴（当且仅当时，取等号）（当且仅当时，取等号）（当且仅当时，取等号）∴（当且仅当时，取等号）即.【变式2】已知、都是正数，求证：。【解析】∵、都是正数，∴，，∴（当且仅当即时,等号成立）故.类型三：基本不等式在实际问题中的应用例4.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为、(单位：)的矩形.上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积为.问、分别为多少(精确到0.001m)时用料最省?【解析】由题意可得，∴。于是，框架用料长度为。当，即时等号成立。此时，，

7、。故当约为2.343m，约为2.828m时用料最省。举一反三：【变式1】某农场有废弃的猪圈，留有一面旧墙长12m,现准备在该地区重新建立一座猪圈，平面图为矩形，面积为，预计（1）修复旧墙的费用是建造新墙费用的，（2）拆去旧墙用以改造建成新墙的费用是建新墙的，（3）为安装圈门，要在围墙的适当处留出的空缺。试问：这里建造猪圈的围墙应怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？【解析】显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好。设修复成新墙的旧墙为,则拆改成新墙的旧墙为，于