高考数学总复习 基础知识 第三章 第五节三角函数的图象与性质 理.doc

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1、第五节　三角函数的图象与性质1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如值域、单调性、奇偶性、最大值和最小值以及与x轴交点等)，理解正切函数在区间上的性质．了解三角函数的周期性．知识梳理一、正弦函数、余弦函数、正切函数的性质(表格中各式的k∈Z)函数名称正弦函数y＝sinx余弦函数y＝cosx正切函数y＝tanx函数图象定义域x∈Rx∈R{x

2、x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R最值当x＝2kπ＋时，ymax＝1；当x＝2kπ－时，ymin＝－1当x＝2kπ时，ymax＝1；当

3、x＝2kπ＋π时，ymin＝－1无最值图象分布周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性递增区间递增区间递减区间对称性对称轴x＝＋kπx＝kπ无对称中心(kπ，0)二、研究函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的方法类比于研究y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的ωx＋φ看成y＝sinx中的x，但在求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要特别注意A和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数．研究函数y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)的性质的方法与其类似，也是类比、转化．三、求三角函数的周期的常用方法经过恒等变形化成“y＝Asin(ωx＋φ)，

4、y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)”的形式，再利用周期公式．如：函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期都是；函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期是.另外还有图象法和定义法．基础自测1．(2013·广州一测)如果函数f(x)＝sin(ω>0)的两个相邻零点之间的距离为，则ω的值为(　　)A．3　　　　　B．6　　　　　C．12　　　　　D．24解析：T＝，ω＝＝12，故选C.答案：C2．若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝(　　)A.　B.　C.D.解析：∵f(x)为偶函数，关于y轴对称，x＝0为其对

5、称轴．∴＝＋kπ，令x＝0，φ＝3kπ＋π，当k＝0时，φ＝π，选C项．答案：C3.若函数f(x)＝sin(x＋α)－2cos(x－α)是奇函数，则sinαcosα＝________.解析：因为函数f(x)＝sin(x＋α)－2cos(x－α)是奇函数，所以f(0)＝sinα－2cosα＝0，即tanα＝2.所以sinαcosα＞0，不妨设α为锐角，可得sinα＝，cosα＝.所以sinαcosα＝.答案：4．已知函数f(x)＝sin(ω>0)在上单调递增，在上单调递减，则ω＝________.解析：由题意f＝sin＝1⇒－＝2kπ＋⇒ω＝k＋，k∈Z.又ω>0，令k

6、＝0，得ω＝(如k>0，则ω≥2，T≤π与已知矛盾)．答案：1．(2013·山东卷)函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为(　　)解析：函数y＝xcosx＋sinx为奇函数，排除B.取x＝，排除C；取x＝π，排除A，故选D.答案：D2．已知函数f(x)＝4cosxsin－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解析：(1)∵f(x)＝4cosx－1＝2sinxcosx＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin，∴函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤.∴当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值

7、2；当2x＋＝－，即x＝－时，函数f(x)取得最小值－1.1.(2013·佛山一模)函数y＝sinx＋sin的最小正周期为________，最大值是________．解析：因为函数y＝sinx＋sin＝sinx＋sinx－cosx＝sin.所以函数的周期为T＝＝2π；函数的最大值为.答案：2π　2．已知函数f＝2sinxcosx＋cos2x(x∈R)．(1)当x取什么值时，函数f取得最大值？并求其最大值．(2)若θ为锐角，且f＝，求tanθ的值．解析：(1)f＝2sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝＝sin.∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z

8、)时，函数f取得最大值，其最大值为.(2)∵f＝，∴sin＝.∴cos2θ＝.∵θ为锐角，即0<θ<，∴0<2θ<π.∴sin2θ＝＝.∴tanθ＝＝＝＝.