高考数学总复习 基础知识 第五章 第五节数列的求和 理.doc

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1、第五节　数列的求和掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能把某些不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决；掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方法，并能灵活地运用这些方法解决相应问题.知识梳理一、直接用等差、等比数列的求和公式求和1．等差数列的前n项和公式．Sn＝＝na1＋d.2．等比数列的前n项和公式．Sn＝(注意：公比含字母时一定要讨论)二、错位相减法求和例如是等差数列，是等比数列，求a1b1＋a2b2＋…＋anbn的和就适用此法．做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比q，然后将两式相减，相减后以“qn”为同类项进行合并得到一个

2、可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项，不要遗漏掉)．三、分组求和把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和．四、并项求和例如求1002－992＋982－972＋…＋22－12的和可用此法．五、裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项．1．特别是对于，其中是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用＝－(其中d＝an＋1－an)．2．常见的拆项．＝－；＝；＝；n·n！＝(n＋1)！－n！；＝－.六、公式法求和＝；＝n2；2＝；3＝2.七、倒序相加法求和如果一个数列{an}多与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于

3、同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和就是用此法推导的．八、其他方法求和如归纳猜想法、奇偶分拆法等．基础自测1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝(　　)A．63　　　　B．45C．36　D．27解析：由等差数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，∴9,36－9，S9－36成等差数列，即54＝9＋S9－36.∴S9＝81.∴a7＋a8＋a9＝81－36＝45.故选B.答案：B2．(2013·三亚质检)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…

4、＋a100＝(　　)A．－200B．－100C．200D．100解析：由题意知，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)100×(2×100－1)＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.故选D.答案：D3．等差数列{an}中，a3＝8，a7＝20，若数列的前n项和为，则n的值为________．解析：∵公差d＝＝3，∴通项公式为an＝a3＋(n－3)×3＝3n－1(n∈N*)．∴＝＝－.用裂项求和法求得其前n项和为Sn＝.令＝，解得n＝16.答案：164．在10到2000之间，形如2n(n∈N*)的各数之和为____

5、______．解析：满足条件的数中，最小的是24，最大的是210，所以S＝24＋25＋…＋210＝＝(27－1)×24＝2032.答案：20321．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)A.　B.C.　D.解析：由a5＝5，S5＝15，得a1＝1，d＝1.∴an＝1＋(n－1)＝n.∴＝＝－.又＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝.故选A.答案：A2．(2013·山东卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和

6、为Tn，且Tn＋＝λ(λ为常数)．令Cn＝b2n，(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Rn.解析：(1)设公差为d，令n＝1，则a2＝2a1＋1，a1＝d－1，①又S4＝4S2，即2a1＝d，②由①②得：a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)由题意知，Tn＝λ－，∴当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝λ－－＝.∴Cn＝b2n＝(n∈N*)．∴Rn＝C1＋C2＋…＋Cn－1＋Cn＝0＋＋＋…＋，①Rn＝＋＋…＋＋，②①－②得：Rn＝＋＋…＋－＝－＝－＝.∴Rn＝＝.1．已知函数f(x)＝x2－bx的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0

7、平行，若数列的前n项和为Sn，则S2012的值为(　　)A.B.C.D.解析：∵f′(x)＝2x－b，f′(1)＝2－b＝3，∴b＝－1.∴f(x)＝x2＋x.∴＝＝＝－.∴Sn＝＋＋－＋…＋＝1－＝.∴S2012＝.故选D.答案：D2．(2013·茂名一模)已知数列{an}，{bn}中，a1＝b1＝1，且当n≥2时，an－nan－1＝0，bn＝2bn－1－2n－1.记n的阶乘n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n!(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列为等差数列；(3)若cn＝＋bn－2n，求{cn}的前n