高考数学总复习 基础知识 第二章 第十六节定积分及其简单应用 理.doc

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1、第十六节　定积分及其简单应用了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义.知识梳理一、连续曲线一般地，如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的________．二、以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤1．分割：n等分区间[a，b]．2．近似代替：取点ξi∈.3．求和：4.取极限：三、定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续曲线，用分点a＝x0

2、和式________________，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的________，记作________，即其中f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，b，a分别叫做积分上限和下限，区间[a，b]叫做积分区间，“∫”称为积分号．四、定积分∫abf(x)dx的实质1．当f(x)在区间[a，b]上大于0时，∫abf(x)dx表示___________________，这也是定积分的几何意义(如图①)．2．当f(x)在区间[a，b]上小于0时，∫abf(x)dx表示_______________________

3、(如图②)．3．当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，∫abf(x)dx表示________________________(如图③)．五、微积分基本定理(牛顿－莱布尼兹公式)一般地，如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫ab(x)dx＝________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿―莱布尼兹公式，可以把F(b)－F(a)记作F(x)

4、，即∫abf(x)dx＝____________.其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．六、基本的积分公式∫ab0dx＝C；∫abxmdx＝xm＋1＋C(m∈Q，m≠－1)；∫abdx＝ln＋C；∫

5、abexdx＝ex＋C；∫abaxdx＝＋C；∫abcosxdx＝sinx＋C；∫absinxdx＝－cosx＋C(各式中的C均为常数)．七、定积分的性质1.∫abkf(x)dx＝________________(k为常数)．2.∫ab[f(x)±g(x)]dx＝________________.3.∫abf(x)dx＝________________(其中a

6、求曲边梯形的面积：分割、近似代替、求和、取极限)．2．牛顿－莱布尼兹公式法．3．几何意义法：若y＝f(x)，x轴与直线x＝a，x＝b之间的各部分区域是可求面积的规则图形，则可直接求其面积．如求∫-11dx.4．利用奇、偶函数的性质．十、定积分的简单应用1．定积分在几何中的应用：如图，曲线y＝f(x)，y＝g(x)与直线x＝a，x＝b围成的曲边梯形面积S＝∫ab[f(x)－g(x)]dx.2．定积分在物理中的应用：(1)变速直线运动的路程：运动速度为V(t)，则在t＝a到t＝b时间内物体的位移为S＝∫abv(t)dt；(2)变力作功：力F是位移s的函数，则在s＝a到s＝b位移内力所

7、做的功为W＝∫abF(s)ds.3．定积分与其他知识的综合．基础自测1.写成定积分的形式，可记为(　　)A.∫0πsinxdx　　　　　B.∫01sinxdxC.∫0πsinxdxD.∫0πdx答案：A2.已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为(　　)A.B.C.D.解析：根据图象可得：y＝f(x)＝－x2＋1，再由定积分的几何意义，可求得面积为S＝∫-11(－x2＋1)dx＝｜-11＝.故选B.答案：B3．(2013·韶关三模)计算∫03(2x－1)dx＝________.解析：由导数的运算法则知当F(x)＝x2－x时，F′(x)＝2x－1，由定积分

8、定义得∫(2x－1)dx＝F(3)－F(0)＝9－3＝6.答案：64．(2013·湖南卷)若∫x2dx＝9，则常数T的值为________________．解析：∫x2dx＝＝＝9，解得T＝3.答案：3　　　　　　　　　　　　　　　　　1．(2013·江西卷)若S1＝∫x2dx，S2＝∫dx，S3＝∫exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　)A．S1