高考数学总复习 基础知识 第二章 第十二节变化率与导数的概念、导数的运算 理.doc

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1、第十二节　变化率与导数的概念、导数的运算1．导数概念及其几何意义．(1)了解导数概念的实际背景；(2)理解导数的几何意义．2．导数的运算．(1)能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x，y＝的导数；(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；(3)能求简单的复合函数[仅限于形如f(ax＋b)]的导数．知识梳理一、导数的概念1．平均变化率：已知函数y＝f(x)，如果自变量x在x0处有改变量Δx，那么函数y相应地有改变量Δy＝____________，比值就叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．2．函数在

2、x＝x0处导数的定义：一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0的附近改变量为Δx时，函数值的改变量为_______，如果Δx趋近于0时，平均变化率______趋近于____，即_______＝li＝m，这个常数m叫做函数f(x)在点x0处的_______．函数f(x)在点x0处的瞬时变化率又称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作_______或________，即____________．如果函数y＝f(x)在x0处有导数(即导数存在)，则说函数f(x)在x0处可导．如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则说函数f(x)在区间

3、(a，b)内可导．3．导函数的定义：表示函数的平均改变量，它是Δx的函数，而f′(x0)表示一个确定的数值，即f′(x0)＝li.当x在区间(a，b)内变化时，f′(x)便是x的___________，我们称它为__________(简称导数)．y＝f(x)导函数有时记作y′，即f′(x)＝y′＝.二、导数的几何意义及物理意义导数的几何意义：函数f(x)在点x0处导数的几何意义就是__________________．相应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．导数的物理意义：位移函数s＝s(t)在t0处的导数s′(t0)是______________________

4、__，即v＝s′(t0)．速度函数v＝v(t)在t0处的导数v′(t0)是______________________________，即a＝v′(t0)．三、导数的运算1．几种常见函数(基本初等函数)的导数：c′＝______(c为常数)；(xm)′＝______(m∈Q且m≠0)；′＝______；()′＝_____；(sinx)′＝_____；(cosx)′＝________；(logax)′＝______(a＞0且a≠1)；(lnx)′＝______(x＞0)；(ax)′____(a＞0且a≠1)；(ex)′＝　____　.2.导数四则运算法则．(1)和、差的导数：[

5、u(x)±v(x)]′＝______________(口诀：和与差的导数等于导数的和与差)；(2)积的导数：[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)(口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号)，若c为常数，则′＝cu′(x)；(3)商的导数：′＝________(v≠0)(口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号)．3．复合函数及其求导．(1)复合函数的定义：对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示为x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做外

6、层函数，u＝g(x)叫做内层函数．(2)理解复合函数的结构规律：判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向内分析，最外层的函数结构是基本函数的形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析．例如，函数y＝esin2x是复合函数，它是由函数y＝eu，u＝v2，v＝sinx复合而成的．(3)复合函数的求导法则：复合函数y＝f(g(x))对自变量x的导数y′x，等于外函数y＝f(u)对中间变量u的导数y′u乘以中间变量u对自变量x(即内函数)的导数u′x，即____________．复合函数求导步骤：分解—求导—回代．法则的推广：若函数y＝f(u)在点u处可导，u＝g(

7、v)在点v处可导，v＝h(x)在点x处可导，则复合函数y＝f{g(h(x))}在点x处可导，并且____________．基础自测1．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是　(　　)A．－9　　　　　　　　B．－3C．9D．15解析：因为y′＝3x2，所以k＝y′

8、x＝1＝3，所以在点P(1,12)的切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9.所以与y轴交点的纵坐标为9.故选C.答案：C2．函数y＝xcosx－sinx的导数为(　　)A．xsinxB．－xsinxC．xc