高考数学总复习 基础知识 第二章 第二节函数的单调性与最大(小)值 理.doc

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1、第二节　函数的单调性与最大(小)值1.理解函数的单调性及其几何意义.2.会运用函数图像理解和研究函数的性质.3.会求一些简单函数的值域.4.理解函数的最大值、最小值、及其几何意义.知识梳理一、函数单调性的定义二、证明函数单调性的一般方法1．定义法．用定义法判断、证明函数单调性的一般步骤是：(1)设x1，x2__________，且x1

2、的符号确定其增减性，即下结论．概括为：取值—作差—变形—定号—下结论．2．导数法．设f(x)在某个区间(a，b)内有导数，若f(x)在区间(a，b)内，总有f′(x)>0[f′(x)<0]，则f(x)在区间(a，b)上为增函数(减函数)；反之，若f(x)在区间(a，b)内为增函数(减函数)，则f′(x)≥0[f′(x)≤0]．请注意两者的区别所在．三、求函数单调区间的方法定义法、导数法、图象法．四、复合函数及其单调性1．复合函数．设y＝f(u)，u∈B，u＝g(x)，x∈A，通过变量u，得到y关于x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的______，

3、记作________．其中y＝f(u)叫做外函数，u＝g(x)叫做内函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域的子集．2．复合函数y＝f的单调性规律．对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果u＝g(x)在区间(a，b)上具有单调性，当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且y＝f(u)在区间(m，n)上也具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)具有单调性的规律见下表：y＝f(u)增↗减↘u＝g(x)增↗减↘增↗减↘y＝f(g(x))增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同增异减”．五、函数的最大值、最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果

4、∃M∈R，满足：(1)对∀x∈A，恒有f(x)≤M[或f(x)≥M]；(2)∃x0∈A，使得f(x0)＝M，则称M是函数y＝f(x)的____________．六、求函数值域(最值)的各种方法因为函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的，故其类型依解析式的特点可分为三类：(1)求常见函数的值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．无论用什么方法求函数的值域，都必须首先考虑函数的定义域．具体的方法有：①直接法；②配方法；③分离常数法；④换元法；⑤三角函数有界法；⑥基本不等式法；⑦单调性法；⑧数形结合法；⑨导数法(对于

5、具体函数几乎都可以用导数法去解决)．基础自测1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(　　)A．y＝2x＋1　　　　B．y＝3x2＋1C．y＝D．y＝

6、x

7、解析：由函数单调性定义知选C.答案：C2．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(

8、x

9、)＜f(1)的实数x的取值范围是(　　)A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：∵f(x)为R上的减函数，且f(

10、x

11、)＜f(1)，∴

12、x

13、＞1，∴x＜－1或x＞1.故选D.答案：D3．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为_

14、___________________．解析：∵f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f(3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2.答案：－24．一个矩形的周长为l，面积为S，给出：①(4,1)，②(8,6)，③(10，8)，④.其中可作为(l，S)取得的实数对的序号是____________．解析：设矩形一边长为x，则S＝＝－x2＋x＝－2＋，检验知，①④满足．答案：①④1．(2013·重庆卷)y＝(－6≤a≤3)的最大值为(　　)A．9B.C．3D.解析：因为y＝＝＝，所以当a＝－时，y＝的值最大，最大

15、值为.答案：B2．(2013·大纲全国卷)若函数f(x)＝x2＋ax＋在是增函数，则a的取值范围是(　　)A．[－1,0]B．[－1，＋∞)C．[0,3]D．[3，＋∞)解析：f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立，由于y＝－2x在，＋∞上单调递减，所以y<3，故只要a≥3.答案：D1．已知函数f(x)＝－x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－5,4]，则m＋n的取值范围是(　　)A．[1,7]B．[1,6]C．[－1,1]D．[0,6]解析：f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴f(2)＝4.又由f(x)＝－5，得x