高考数学总复习 基础知识 第六章 第九节数学归纳法 理.doc

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1、第九节　数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识梳理　数学归纳法：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性．先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．这种证明方法就叫做数学归纳法．用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(例如n0＝1，n0＝2等)时结论正确；(2)(归纳递推)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．由(1)，(2)可知，命题对于从n0

2、开始的所有正整数n都正确．用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时，要注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．基础自测1．(2013·深圳月考)用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)A．2B．3C．5D．6解析：当n≤4时，2n>n2＋1不成立，n≥5时，2n>n2＋1成立，所以取n0＝5.答案：C2．下列代数式中(其中k∈N*)，能被9整除的是(　　)A．6＋6×7kB．2＋7k－1C．3(2＋7k)D．2(2＋7k＋1)解析：(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n

3、(n∈N*)命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36，这就说明，当k＝n＋1时命题也成立．故选C.答案：C3．(2013·厦门质检)观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N*)．解析：3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋＋＋…＋>.答案：1＋＋＋…＋>4．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是________．解析：a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，猜想an＝.答

4、案：an＝1．已知f(x)＝.(1)若x≥1时，证明：f(x)≥lnx；(2)证明：1＋＋＋…＋>ln(n＋1)＋(n≥1)．证明：(1)设g(x)＝f(x)－lnx＝－－lnx(x≥1)，则g′(x)＝－＋＝＝≥0(x≥1)，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，即当x≥1时，g(x)≥g(1)＝0，即f(x)≥lnx.(2)(法一)由(1)有f(x)＝≥lnx(x≥1)，且当x＞1时，＞lnx.令x＝，有ln＜－＝－，即ln(k＋1)－lnk＜，k＝1,2,3，…，n.将上述n个不等式依次相加，得ln(n＋1)＜＋＋＋…＋＋.整理得1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)＋.(法二

5、)用数学归纳法证明．(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝ln2＋＜1，不等式成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋＞ln(k＋1)＋.那么n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＞ln(k＋1)＋＋＝ln(k＋1)＋.由(1)有f(x)＝≥lnx(x≥1)．令x＝，得≥ln＝ln(k＋2)－ln(k＋1)．∴ln(k＋1)＋≥ln(k＋2)＋.∴1＋＋＋…＋＋＞ln(k＋2)＋.这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．根据(1)，(2)，可知不等式对任何n∈N*都成立．2．(2012·大纲全国卷)函数f(x)＝x2－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝

6、2，xn＋1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．(1)证明：2≤xn

7、k＋1时，xk＋1＝＝4－，由2≤xk<3⇔xk＋2<5⇔1<≤⇔2<≤4－<3即2≤xk＋1<3也成立．综上可知，2≤xn<3对任意正整数恒成立．下面证明xn0，即xn