高考数学总复习 基础知识 第八章 第七节空间坐标系、空间向量的概念及运算 理.doc

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1、第七节　空间坐标系、空间向量的概念及运算1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．2．会推导空间两点间的距离公式．3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及　其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．知识梳理1．空间直角坐标系及有关概念．(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做________．x轴，y轴，z轴叫做_

2、_______．通过每两个坐标轴的平面叫做________．(2)右手直角坐标系的含义是：一般是将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面．它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向________正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为________正向，也称这样的坐标系为右手系．(3)空间一点M的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的________，y叫做点M的________，z叫做点M的________．答案：1.（1）

3、原点坐标轴坐标平面（2）x轴z轴（3）横坐标纵坐标竖坐标2．空间两点间的距离公式．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则

4、AB

5、＝________________.答案：3．空间向量的概念及运算．空间向量的概念及运算同平面向量基本相同．加减运算遵循______________________，数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算________；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标．答案：三角形法则和平行四边形法则相同4．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理．(1)共线向量定理．对空间任意两

6、个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使____________________．推论　如图所示，点P在直线l上的充要条件是：＝＋ta，（*）其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则（*）可化为＝________________或＝(1－t)＋t.　　(2)共面向量定理的向量表达式为：p＝________________________，其中x，y∈R，a，b为不共线的向量．推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O有，＝________________________或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝_____

7、_.(3)空间向量基本定理．如果向量e1，e2，e3是不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝________________，把e1，e2，e3叫做空间的一个基底．答案：（1）a=λb+t（2）xa+yb+x+y15．空间向量的数量积及运算律．(1)数量积及相关概念．①两向量的夹角．已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则________叫做向量a与b的夹角，记作________，其范围是______________，若a，b＝，则称a与b__________，记作a⊥b.②两向

8、量的数量积．已知空间两个非零向量a，b，则____________________叫做向量a，b的数量积，记作__________，即______________________．(2)空间向量数量积的运算律．①结合律：(λa)·b＝____________________；②交换律：a·b＝__________________；③分配律：a·(b＋c)＝____________________.答案：（1）∠AOB0≤≤π互相垂直

9、a

10、

11、b

12、cosa·ba·b=

13、a

14、

15、b

16、cos（2）λ（a·b）b

17、·aa·b=a·c6．空间向量的坐标表示及应用．(1)数量积的坐标运算．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝__________________.(2)共线与垂直的坐标表示．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a∥b⇔a＝λb⇔②a⊥b⇔______________＝0⇔____________(a，b均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

18、a

19、＝＝__________________，cosa，b＝＝_____________

20、_____________.若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则

21、

22、＝____________________.答案：（1）a1b1+a2b2+a3b3(2)a1