高考数学最新一轮复习 必考题型巩固提升 6.2等差数列及其前n项和学案.doc

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1、6.2等差数列及其前n项和考情分析高考中主要在选择题、填空题中考查等差数列的定义、基本运算和性质，在解答题中多考查等差数列的证明基础知识1、等差数列的判定：（1）定义法：（2）等差中项法：（3）通项公式法：（4）（5）若均为等差数列，为的前n项和，则；由原等差数列中相隔k项的项从新组成的数列仍等差要否定是等差数列，只需举一组反例即可2、等差数列的性质（1）通项公式：①②（2）前n项和公式：①②（3）下脚标性质：若m+n=p+q，则（4）奇偶项的性质：项数为2n的等差数列有为中间两项）；项数为奇数的等差数列有，为中间项）

2、（5）几个常用结论：①若则②若则③若则④若分别为等差数列和的前n项和，则（6）两个常用技巧：若三个数成等差通常设成，若四个数成等差通常，方便计算注意事项1.利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：Sn＝.2.已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…

3、，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．3.等差数列的判断方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.题型一　等差数列基本量的计算【例1】已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则S40＝(　　)A.290　　　　　　　　　B.390C.410　　　D.430答案：C解析：S2＝a3，∴2a1＋d＝a1＋2

4、d，∴d＝，∴S40＝40×＋×＝410.【变式1】《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析　设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，…，a9，由题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，设等差数列{an}的公差为d，则有4a1＋6d＝3①，3a1＋21d＝4②，由①②可得d＝，a1＝，所以a5＝a1＋4d＝＋4×＝.答案　考向二　等差数列的判定或证明【例2】已知数列{an}的各项均为

5、正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4.(1)求证{an}为等差数列；(2)求{an}的通项公式．(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a＋1－4，即a－2a1－3＝0，解得a1＝3(a1＝－1舍去)．当n≥2时，有2Sn－1＝a＋n－5，又2Sn＝a＋n－4，两式相减得2an＝a－a＋1，即a－2an＋1＝a，也即(an－1)2＝a，因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.若an－1＝－an－1，则an＋an－1＝1，而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{an}的各项均为正数相矛盾，所以an－1＝an－1，

6、即an－an－1＝1，因此{an}为等差数列．(2)解：由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{an}的通项公式an＝3＋(n－1)＝n＋2，即an＝n＋2.【变式2】已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a1＝－2，a2＝2，S3＝6.(1)求Sn；(2)证明：数列{an}是等差数列．(1)解　设Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，则解得：A＝2，B＝－4，C＝0.∴Sn＝2n2－4n.(2)证明　当n＝1时，a1＝S1＝－2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－4n－[2(n－1)2－4(n－1)]＝4

7、n－6.∴an＝4n－6(n∈N*)．当n＝1时符合上式，故an＝4n－6，∴an＋1－an＝4，∴数列{an}成等差数列．题型三　等差数列前n项和的最值【例3】数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负．(1)求数列的公差d；(2)求前n项和Sn的最大值；(3)当Sn>0时，求n的最大值．解：(1)由已知a6＝a1＋5d＝23＋5d>0，a7＝a1＋6d＝23＋6d<0，解得：－0，a7<0，∴当n＝6时，Sn

8、取得最大值，S6＝6×23＋×(－4)＝78.(3)Sn＝23n＋×(－4)>0，整理得：n(50－4n)>0，∴0