高考数学第一轮复习 基本不等式及应用学案.doc

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1、广东饶平二中2011高考第一轮学案：基本不等式及应用一、知识归纳：1．基本不等式：①，（当且仅当时，取等号）变形：，，②重要不等式：如果，则（当且仅当时，取“”号）2．最值问题：已知是正数，①如果积是定值P，则当时，和有最小值；②如果和是定值S，则当时，积有最大值.利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。3．称为的算术平均数，称为的几何平均数。4．（文科不作要求）三元基本不等式：若，则二、学习要点：1．掌握基本不等式的结构特点，利用基本不等式可以求涉及和、积结构的代数式的最

2、值，难点在于定值的确定。2．基本不等式的应用在于“定和求积、定积求和”。必要时可以通过变形（拆补）、运算（指、对数等）构造定值。3．只有在满足“一正、二定、三等”条件下，才能取到最值。4．基本不等式的主要应用有：求最值、证明不等式、解决实际问题。三、例题分析：例1．已知，则的最大值是________.例2．已知，且，求（1）的最小值；（2）的最小值。[来源:学§科§网Z§X§X§K]例3．求下列函数的最小值（1）（2）已知，且求的最大值及相应的，的值。[来源:Zxxk.Com][来源:学科网]例4.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用

3、旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为(单位：元)。（1）将总造价表示为的函数；（2）试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。四、练习题：1．设，且，则的最小值是A．6B．C．D．2．下列不等式中恒成立的是A．B．C．D．3．下列结论正确的是A．当且时，B．时，C．的最小值为2D．当无最大值4．对任意正实数，恒成立,则正实数的最小值为A．2B．4C．6D．85．已知，则的最小值是A．2B．C．4D

4、．56．函数的最大值为，最小值为，则的值是A．B．C．D．7．下列函数中最小值是4的是A．B．C．D．8．设若的最小值为A．8B．4C．D．19．若直线过圆的圆心，则的最大值是[来源:学.科.网]A．B．C．D．10．已知，，，则A．B．C．D．11．点在直线位于第一象限内的图象上运动，则的最大值是____________.12．函数的最小值是_____________.13．已知，，则的最小值.14．已知，且，则下列不等式①；②；③；④。其中正确的序号是________________.15．已知且，求的最大值。16．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内

5、，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：。（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？17．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元。[来源:Z*xx*k.Com]（1）设铁栅长为米，一堵砖墙长为米，求函数的解析式；（2）为使仓库总面积达到最大，正面铁栅长应为多少

6、米？[来源:学#科#网Z#X#X#K]18．周长为12的矩形围成圆柱（无底），当圆柱的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱的高的比为多少？（三）基本不等式及应用参考答案三、例题分析：例1．已知，则的最大值是_________.例2．已知，且，求（1）的最小值；（2）的最小值。解：（1）由，得，又，则，得，当且仅当时，等号成立。（2）法1：由，得，则，当且仅当，即时，等号成立。法2：由，得，则=。例3．求下列函数的最小值（1）（2）已知，且求的最大值及相应的x，y的值。解：（1）换元法，设，，则，且当且仅当，即时，等号成立。则函数的最小值是9。（2）由，且得，当

7、且仅当，即，时，等号成立。故当，时，的最大值是例4．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为(单位：元)。[来源:Zxxk.Com]（1）将总造价表示为的函数：（2）试确定,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。解：（1）如图，设矩形的另一边长为m则由已知,得,所以(II).当且仅当=时，等号成立.即当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是1044

8、0元.四、练习题：1~10：B．A．B．B．C．C．C．D．A．A