圆锥曲线的常规题型及解题技巧(补充篇).doc

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1、※圆锥曲线的常规题型及解题技巧（补充篇）※一、知识点储备1、与直线相关的重要内容①倾斜角与斜率②点到直线的距离③夹角公式：2、圆锥曲线方程及性质(1)椭圆的方程的形式（三种形式）标准方程：距离式方程：参数方程：(2)双曲线的方程的形式有两种标准方程：距离式方程：(3)三种圆锥曲线的通径：.(4)焦点三角形面积公式：（其中）(5)记住焦半径公式：①，可简记为“左加右减，上加下减”.②；③.二、例题详解例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;（2）若角A为，AD垂直BC于

2、D，试求点D的轨迹方程.例2、如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围.例3、已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标.例4、已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.例5、设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.例6、椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，．（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否

3、存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由.例7、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．（1）求椭圆的方程：（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当Δ内切圆的面积最大时，求Δ内心的坐标；例8、已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.（1）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；（2）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0），交椭圆于A、B两个不同点。（1）求椭圆的方程；（

4、2）求m的取值范围；（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.例10、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是（1）求双曲线的方程；（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．例12、已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.（1）若当点P的坐标为时,,求双曲

5、线的方程；（2）若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐近线方程.参考答案例1、解：（1）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2,0)，则有两式作差有①F(2,0)为三角形重心，所以由，得，由得，代入①得直线BC的方程为（2）由AB⊥AC得②设直线BC方程为，得，代入②式得，解得或直线过定点（0，，设D（x,y），则，即所以所求点D的轨迹方程是。例2、解法一：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD⊥轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称，依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点

6、坐标公式得，设双曲线的方程为，则离心率由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得，①②由①式得，③将③式代入②式，整理得，故由题设得，解得所以双曲线的离心率的取值范围为解法二：建系同解法一，，，又，代入整理，由题设得，解得所以双曲线的离心率的取值范围为例3、解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为：于是，问题即可转化为如上关于的方程.由于，所以，从而有于是关于的方程由可知：方程的二根同正，故恒成立，于是等价于.由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得.例4、解：设，则由可得：，解之得：（1）设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于x的一元

7、二次方程：（2）∴代入（1），化简得：(3)与联立，消去得：在（2）中，由，解得，结合（3）可求得故知点Q的轨迹方程为：（）.例5、解1：当直线垂直于x轴时，可求得;当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得解之得因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，，，所以===.由,解得，所以，综上.解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得（*）则令，则，在（*）中，由判别式可得，从而有，所以，解得.结合得.综上，.例6、解（1）如图建