坐标系与极坐标(教案)精.doc

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1、坐标系与极坐标适用学科数学适用年级高中二年级适用区域全国课时时长（分钟）60知识点极坐标方程教学目标1.学习极坐标方程与直角坐标方程的互化；2.学习利用极坐标方程讨论直线与直线、直线与曲线的位置关系．教学重点1.了解极坐标系的意义和作用；2.2.用极坐标系表示点，画出简单图形；3.3.将极坐标方程和直角坐标方程联系，了解它们的区别．教学难点利用极坐标方程讨论直线与直线、直线与曲线的位置关系．教学过程一、复习预习1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方

2、向)，这样就确定了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcos_θ，y＝ρsin_θ.另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tanθ＝.二、知识讲解考点/易错点1简单曲线的极坐标方程(1)直线的极坐标方程θ＝α(ρ∈R)表示过极点且

3、与极轴成α角的直线；ρcosθ＝a表示过(a,0)且垂直于极轴的直线；ρsinθ＝b表示过且平行于极轴的直线；ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程．(2)圆的极坐标方程ρ＝2rcosθ表示圆心在(r,0)，半径为

4、r

5、的圆；ρ＝2rsinθ表示圆心在，半径为

6、r

7、的圆；ρ＝r表示圆心在极点，半径为

8、r

9、的圆．考点/易错点2极坐标方程与直角坐标方程互化公式：，.三、例题精析【例题1】直角坐标与极坐标的互化【题干】(1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点M的直角坐标(－，－1)化成极坐标．【答案】(1)∵x＝－5cos＝－，y＝

10、－5sin＝－，∴点M的直角坐标是.(2)ρ＝＝＝2，tanθ＝＝.∵点M在第三象限，ρ>0，∴最小正角θ＝.因此，点M的极坐标是.【解析】把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)，一般取θ∈[0,2π)．【例题2】直角坐标方程与极坐标方程的互化【题干】在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．【答案】：见解析【解析】(1)∵ρcos＝1，∴ρcosθ·co

11、s＋ρsinθ·sin＝1.又，∴x＋y＝1.即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0.令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝.∴M(2,0)，N.∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为(2)M、N连线的中点P的直角坐标为，P的极角为θ＝.∴直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．【例题3】【题干】⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．【答案】：见解析【解析】以极点的原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)ρ＝4cos

12、θ，两边同乘以ρ，得ρ2＝4ρcosθ；ρ＝－4sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2＝－4ρsinθ.由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2＋y2，得⊙O1，⊙O2的直角坐标方程分别为x2＋y2－4x＝0和x2＋y2＋4y＝0.(2)由①－②得－4x－4y＝0，即x＋y＝0为所求直线方程．【例题4】曲线极坐标方程的应用【题干】　(1)把点M的极坐标化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(，－)化成极坐标．(ρ>0,0≤θ<2π)【答案】：见解析【解析】(1)x＝8cos＝－4，y＝8sin＝4，因此，点M的直角坐标是(－4,4)．(2)ρ＝＝2，tanθ＝＝－，又因为点在第四象限

13、，得θ＝.因此，点P的极坐标为四、课堂运用【基础】1．已知曲线的极坐标方程为ρ＝4sinθ，将其化为直角坐标方程为____________．答案　x2＋(y－2)2＝4解析　由ρ＝4sinθ得ρ2＝4ρsinθ.又，∴x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为__________．答案　解析　曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sinθ－c