场论的相关数学理论.doc

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1、场论的相关数学理论场论是研究某些物理量在空间中的分布状态及其运动形式的数学理论，它的内容是进一步深入研究电磁场及流体等的运动规律的基础，也是学习某些后继课程的基础，本章主要介绍场论中几个基本概念（梯度、散度、旋度）以及它们的应用。§2.1场1、场的概念设有一个区域（有限或无限），如果内每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在区域中确定了该物理量的一个场。若该物理量是数量，则称此场为数量场；若是矢量，则称此场为矢量场。例如温度场、密度场、电位场等为数量场，而力场、速度场等为矢量场。此外，若物理量在场中各点处的对应值不随时间而变化，则称该场为稳定场；否则，称为

2、不稳定场。后面我们只讨论稳定场（当然，所得的结果也适合于不稳定场的每一瞬间情况）。在数学上给定一个数量场就相当于给定了一个数性函数；同样，给定了一个矢量场就相当于给定了一个矢性函数A=A，其中表示区域中的点。当取顶了直角坐标系以后，空间中的点由它的三个坐标所确定，因此，一个数量场可以用一个数性函数（2.1.1）来表示。同样，一个矢量场可用一个矢性函数A=A（2.1.2）来表示。从数学观点看，数量场的概念与点函数概念相比没有新的内容，向量场的概念与向量函数相比没有新的内容，但是为了强调场这个概念的起源与物理意义，我们仍用“场”的有关术语重述前面有关章节的内容，并赋予

3、它新的含义。2、数量场的等值面在数量场中，为了直观地研究数量在场中的分布状况，我们引入等值面的概念。所谓等值面，是指由场中使函数取相同数值的点所组成的曲面。例如电位场中的等值面，就是由电位相同的点所组成的等值面。显然，数量场的等值面方程为（C为常数）。由隐函数存在定理知道，在函数为单值，且连续偏导数不全为零时，这种等值面一定存在。给常数以不同的数值，就得到不同的等值面。这些等值面充满了数量场所在的空间，而且互不相交。这是原因数量场中的每一点都有一等值面（2.1.3）通过；而且由于函数为单值，一个点就只能在一个等值面上。例2.1.1求数量场经过点的等值面方程。解数量

4、场的等值面族是或以代入上式得，。于是经过点的等值面方程为或同样，在函数所表示的平面数量场中，具有同数值的点，就组成此数量场的等值线：比如地形图上的等高线，地面气象图上的等温线、等压线等等，都是平面数量场中等值线的例子。3、矢量场的矢量线在前面，我们已经等值面来形象地描绘了数量场。对于矢量场A，也可以用它的矢量线来形象地描绘它。设A=A的坐标表示式为A=i+j+k其中函数为矢量A的三个坐标，以后若无特别申明，都假定它们为单值、连续且有一阶连续偏导数。矢量A的矢量线是这样的曲线，在它上面每一点的切线方向和对应于该点的矢量A的方向相同，如图2.1.1。下面讨论怎样求出矢

5、量场A的矢量线方程。设为矢量线上任一点，其矢径为rijk则微分rijk位于矢量线的切线上。由两矢量平行，其对应反量必成比例，可得矢量线的微分方程（2.1.6）解之，可得矢量线族。在A不为零的假定下，由微分方程的存在定理知道，当函数为单值、连续且有一阶连续偏导数时，这族矢量线不仅存在，并且也充满了矢量场所在的空间，而且互不相交。在流体力学中，矢量线就是流速场中的流线，在物理学的静电场中，矢量线是电力线，而在磁场中，矢量线是磁力线。显然对于场中的任意一条矢量线（非矢量线），在其上的每一点处，必有且仅有提条矢量线通过，这些矢量线的全体，就构成一张通过曲线的曲面，称为矢量

6、面（图2.1.2）。显然在矢量面上的任一点处，场的对应矢量A都位于此矢量面在该点的切平面内。特别，当为一封闭曲线时，通过的矢量面，就构成一管形曲线，又称之为矢量管（图2.1.3）。例2.1.2设点电荷位于坐标原点，则在其周围空间的任一点处所产生的电场强度为Er（2.1.7）其中为介电系数，rijk为点的矢径；而r

7、，求电场强度E的矢量线。解由（2.1.7）式Eijk）则矢量线所应满足的微分方程为从而有解得（为任意常数）这就是电场强度E的矢量线方程。其图形是一族从坐标原点出发的射线，在电学中称为电力线。§2.2数量场的方向导数和梯度因为函数就表示一个数量场，所以函数

8、的向导数和梯度也称为数量场的方向导数和梯度，本节将进一步讨论它们的性质及运算法则。1、方向导数由上节知道，域上的数量场中，数量的分布状况可以借助于等值面或等值线来进行了解。但是这只能大致地了解到数量场在场中的总分布情况，是一种整体性的了解。而研究数量场的另一个重要方面，就是要对它作局部性的了解，考察数量在场中各点领域内沿每一方向的变化情况。也就是要考察函数在域中各点处沿每一方向的方向导数。2、数量场的梯度为使讨论简便计，我们首先研究平面数量场。给定一平面数量场，相当于给定了一个二元函数。首先，我们将讨论函数沿平面上任一方向的变化率。设函数在点的某一邻域内有定义，自

9、点引射线，