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《复变函数论 第七章 共形映射.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、7．1解析函数的特性教学目的：使学生掌握从映射角度来研究解析函数的概念及基本原理，从而了解解析函数的几何理论.重点：保角映射的概念与性质.难点：解析变换的保域性.课时：4课时教学过程：前几章我们用分析的方法研究了解析函数的性质和应用，从映射角度来研究解析函数的性质及其应用主是通常说的解析函数的几何理论.几何理论中最基本的是共形映射的理论.下面我们来介绍共形映射的概念及基本原理.一．解析函数的保域性.定理7.1(保域定理)设在区域内解析且不恒为常数,则的象也是一个区域.证明：按区域的定义：要证是一个连通开集.首先证明是一个开集即证的每一个都是内点,设是内的任意一点，则
2、存在，使得，由第六章的儒歇定理，必存在的一个邻域.对于其中的任一数，函数在内（是内的邻域）必有根，即，这记.表明是的内点.由的任意性知是开集其次证明是连通集.由于是区域,可在内部取一条联结的折线.于是：就是联结的并且完全含于的一条曲线.从而,由柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到一条联结内接于且完全含于的折线.从以上两点，表明是区域.推论7.2设在区域内单叶解析,则的象也是一个区域.证明：用在区域内单叶，必在内不恒为常数.定理7.3设函数在点解析,且,则在的一个邻域内单叶解析.由此可见，符合本定理条件的解析变换将的一个充分小邻域变成的一个曲边邻域.2解析变换的保角
3、——导数的几何意义设于区域内解析,,在点有导数.通过任意引一条有向光滑曲线,，则必存在且，从而由第二章习题（一）1，在有切线，就是切向量，它的倾角为.经过变换，之象曲线的参数方程应为由定理7.3及第三章习题（一）13，在点的邻域内是光滑的，又由于，故在也有切线，就是切向量，其倾角为即假设则必，于是（7.1）且（7.2）图7.1假定轴与轴、轴与轴的正方向相同（如图7.1），而且将原曲线的切线正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角，理解为原曲线经过变换后的旋转角，则（7.1）说明:象曲线在点的切线正向,可由原象曲线在点的切线正向旋转一个角得出:仅与有关,而与过的曲线的
4、选择无关,称为变换在点的旋转角这也就是导数辐角的几何意义.（7.2）说明:象点间无穷小距离与原象点间的无穷小距离之比的极限是，它仅与有关,而与过的曲线之方向无关,称为变换在点的伸缩率.这也就是导数模的几何意义.上面提到的旋转角与的选择无关的这个性质,称为旋转角不变性;伸缩率与的方向无关这个性质,称为伸缩率不变性.从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩率不变性就表示将处无穷小的圆变成处的无穷小的圆,其半径之比为.上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性.经点的两条有向曲线、的切线方向所构成的角，称为两曲线在该点的夹角.设在点的切线倾角
5、为；在变换下的象曲线在点的切线倾角为，则由（7.1）有及即有所以这里是和在点的夹角（反时针方向为正），是和在象点的夹角（反时针方向为正）.由此可见，这种保角性既保持夹角的大小，又保持夹角的方向（图7.2）.图7.2定义7.1若函数在点的邻域内有定义,且在点具有:(1)伸缩率不变性；(2)过的任意两曲线的夹角在变换下,既保持大小，保持方向；则称函数在点是保角的.或称在点是保角变换.如果在区域内处处都是保角的,则称在区域内是保角的,或称在区域内是保角变换.下面我们来讨论保角变换的性质.定理7.4如在区域内解析,则它在导数不为零的点处是保角的.由上面的讨论即得.推论7.5
6、如在区域内单叶解析,则称在区域内是保角的.注：由定理6.11，在内例7.1试求变换在点处的旋转角，并且说明它将平面的哪一部分放大？哪一部分缩小？解因，，故在点处的旋转角又因，这里，而的充要条件是，故把以为心，为半径的圆周内部缩小，外部放大.例7.2试证：将互相正交的直线族与依次变为互相正交的直线族与圆周族证正交直线族与在变换下，有，即有象曲线族与.由于在平面上处处解析，且，所以在平面上圆周族与直线族也是互相正交的.作业：1，2.3.单叶解析变换的共形性定义7.2如果在区域内是单叶且保角的，称此变换在内是共形的，也称它为内的共形映射.注解析变换在解析点如有（由在的连续
7、性，必在的邻域内0），于是在点保角，因而在的邻域内单叶保角，从而在的邻域内共形（局部）；在区域内（整体）共形，必然在内处处（局部）共形，但反过来不必真.定理7.6设在区域内单叶解析.则(1)将保形变换成区域.(2)反函数在区域内单叶解析,且证(1)由推论7.2，是区域,由推论7.5及定义7.2,将保形变换成.(2)由定理6.11,,又因是到的单叶满变换,因而是到的一一变换.于是,当时,,即反函数在区域内单叶.故由假设在区域内解析,即在内满足条件.故由数学分析中隐函数存在定理,存在两个函数在点及其一个邻域内为连续.即在邻域中,当时,必有.故即由于或的任意性,即知在
