复习教案 一元二次方程根与系数关系.doc

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1、第十三课时一元二次方程根与系数关系一、复习目标：掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理，并会灵活运用它们解决问题.二、复习重点和难点：（一）复习重点：一元二次方程根的韦达定理.（二）复习难点：灵活运用韦达定理解决问题.三、复习过程：（一）知识梳理：1、根与系数的关系（韦达定理）一元二次方程，如果有实数根（即），设两实数根为x1，x2，则，2、常见的含两根的对称式：（1）（2）（3）；（4）；3、利用根与系数的关系判定一元二次方程的两根符号：由可判断两根符号之间的关系：若，则x1，x2同号；若，则x1，x2异号，即一正一负

2、再由可判断两根大小的关系。4、由x1，x2两根可构造的一元二次方程以x1，x2为根的一个一元二次方程为；5、一元二次方程与二次函数的联系：若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两交点，分别设为A（，0），B（，0），则、就是一元二次方程的根，因此，求二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点坐标，只要令y=0，解的根，就可得到二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点坐标的横坐标。强调：应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式②二次项系数，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的

3、关系.（二）典例精析：一、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根。 例1、已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。　　分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。　　解：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，解得：或∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。二、不解方程，判断两根的情况。例2、不解方程，试判断方程两根的符号；分析：要判断方程根的符号，可以根据根的定义，这样的方法显得很笨拙，而我们如果

4、利用根与系数的关系就显得非常巧妙。解：由，方程有两个不相等的实数根。设这两根为，得，易得方程两根一正一负。如果得出，需考虑的正负，从而判断方程有两个正根还是两个负根。三、求作新的方程；　例3、作一个一元二次方程，使它的两个根为一元二次方程的两根的平方．解：设方程的两根为，那么所求的方程的根为，由根与系数关系可得：，∴，，∴所求作的方程为．四、不解方程，求方程两根所组成的某些代数式的值，这种应用与根的判别结合在一起。例4（1）已知关于x的方程3x2+6x-2=0的两根为x1，x2，求的值.分析：已知方程，求两根组成代数式

5、的值。这里主要说明解题格式，学生完成过程.（2）已知关于x的方程3x2-mx-2=0的两根为x1，x2，且，求①m的值；②求x12+x22的值.分析：第（1）题是已知方程，求两根组成代数式的值，而第（2）题的第一问就反来了，也就是已知代数式的值求方程。第②问，再进一步，已知代数式的值，求另一个代数式的值.但是，无论是哪一个问题，所要用到的都是根与系数的关系.小结：1.求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式.例5、（2000年四川省中考试题）若关于x的一元二次方程x2-3(m+1

6、)x+m2-9m+20=0有两个实数根，又已知a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，∠C=90°，且cosB=,b-a=3,是否存在整数m,使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边的平方？若存在，请求出满足条件m的值；若不存在，说明理由.“存在性”问题）分析：（１）提问：此题与哪些知识有关？（勾股道理、解直角三角形、根与系数的关系、根的判别式）（２）如何利用条件cosB=？（３）“使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边的平方”通过这句话，你能明白什么？你先必须求什么？（

7、４）然后按照解决“存在性”问题的过程去解题.（５）求出m后，要考虑它是否符合题意.通过此题，使学生明白解决这类问题，一般遵循“三步曲”，即假设存在——推理论证——得出结论（合理或矛盾两种情况）.五、利用根与系数关系解决一元二次方程与二次函数的综合题：例6、已抛物线（为实数）。（1）为何值时，抛物线与轴有两个交点？（2）如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。分析：抛物线与轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根

8、应满足的条件。略解：（1）由已知有，解得且（2）由得C（0，－1）又∵∴∴或∴或