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《大连理工大学2015考研专业课数学分析.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课程教案（7）第3章一元微分学3.1本章知识点串讲本章的知识点比较多,也是上册书中考研的重难点比较多的一个章节,主要的知识点有:1.导函数的定义与可微性,这个部分重点会用定义去判断一个函数是否在某个点是可导的2.高阶导数与Leibniz公式,这一节还是比较重要的,主要是掌握一些常用的求高阶导数的方法3.微分中值定理,这部分是考验的热点和难点,基本上说是必考的,所以应该重点掌握,尤其是要理解和掌握其中通过构造各种函数来证明问题的方法.4.导函数的两大特性,无第一类间断点和具有介值性,理解两大特性的证明并且记住结论5.Taylor公式,我们都知道Ta
2、ylor公式是一元函数的珠穆朗玛峰,它的重要性是不言而喻的,它的应用非常广,可以用来证明中值公式,证明不等式,求无穷远处的极限等等,而什么时候想到用Taylor公式,这是我们同学经常困惑的一件事,其实一般来说如果题目告诉的条件是一个函数是高阶可导的,比如是3阶可导的,这样一般都是在提醒我们可以用Taylor公式展开到第三项.6.不等式与凸函数,这部分内容的重点在不等式的证明,对凸函数部分的要求不高,同学只要把课本上面的相关部分搞清楚就可以了,而不等式的证明是需要重点掌握的,这是各大高校考研的一个热点问题,主要的的方法有利用单调性证明不等式,利用微
3、分中值定理证明不等式,利用Taylor公式,用极值等方法来证明,这些方法都是常用的,都需要重点掌握,熟练的掌握.3.2本章重难点总结3.2.1重难点知识点总结导函数的两大特性,无第一类间断点和具有介值性,高阶导数1.用基本公式.高阶导数的基本公式主要有以下几个当函数本身不是明显的基本公式形式给出时,可考虑对函数进行适当变形,然后再利用公式直接计算.1.利用数学归纳法:先估算前几阶的导数,从中寻找出一般的规律,再用数学归纳法加以证明2.利用Leibniz公式利用Leibniz公式时,应将所要求导的函数写成两项乘积的形式,再利用上述公式直接得出结果,
4、或者得出导数的递推关系式.3.用递推公式求导:当高阶导数无法直接求出时,可考虑先求出倒数的递推公式,方法是先求前几阶的导数关系,然后设法将等式作适当处理,使两端同时求导时,能得到一般的递推关系微分中值定理2.Rolla定理a.函数的零点性问题(1)借助介值性定理求解(连续函数有介值性,导函数也有介值性)(2)借助Rolla定理求解.b.证明中值问题:构造不同的辅助函数,应用Rolla定理,可以导出不同的中值公式二Lagrange定理三Cauchy定理1.中值定理证明中的辅助函数的构造.(这个方法是非常重要的,后面会去例子说明这种方法)证明Lagr
5、ange中值定理和Cauchy中值定理时,通常要引进辅助函数,并对这一辅助函数应用Rolla中值定理,以此推出两个中值定理.这些巧妙的辅助函数十如何构造出来的?一些教材上从几何意义上解释了辅助函数的构造方法,优点直观,易于理解,但如果遇到问题本身的几何意义不明显,用这种方法就很难奏效,下面我们从分析的观点讨论辅助函数的构造方法.事实上,通过上面的分析我们得到的一般的构造函数的方法就是把要证的结果做个变换后移到一边去,然后只要求出左边部分的原函数就可以了.Taylor公式这部分的内容主要讨论带Lagrange余项与带有Peano余项的Taylor公
6、式在解题中的若干应用,为此我们会在后面取部分的例子帮助大家复习.不等式a.利用单调性证明不等式b.利用微分中值定理证明不等式c.利用Taylor公式证明不等式洛必达法则与极限计算技巧L'Hospital法则适用于"未定型"的极限计算.所谓"未定型"极限,是指,以下几种极限类型:其中前两种是L'Hospital法则计算极限的主要类型,后几种均可通过适当的变形转化为前两种的类型.在应用L'Hospital法则计算极限时,应注意几个问题第一,每计算一步须审查函数是否满足L'Hospital法则所要求的条件,特别是所求极限是否具有未定型的形式,若不再是未
7、定型,自然不能再用L'Hospital法则第二,注意L'Hospital法则的应用条件3.2.2本章重难点例题讲解【例题1】【例题2】【例题3】【例题4】【例题5】(广义的Rolle中值定理)【例题6】(中值定理的证明方法)3.3本章典型题库分析:类似于这种类型的不等式的证明问题,一般的都是利用函数单调性做出证明.先根据所给的不等式(或经过变形后的不等式)构造合适的辅助函数f(x),并利用函数的单调性得出判断,具体的证明思路见我们下面的证明.分析:类似于这种类型的不等式的证明问题,一般的都是利用函数单调性做出证明.先根据所给的不等式(或经过变形后
8、的不等式)构造合适的辅助函数f(x),并利用函数的单调性得出判断,具体的证明思路见我们下面的证明.第4章一元函数积分学这个公式特别的重要
