数值分析笔记.pdf

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1、第一章绪论（2）平方根法u111u12/u11u13/u11*LDM分解和Cholesky分解(GGT)DuM1u/u1、设x是精确值x的一个近似值，222322*TTu1近似值x的绝对误差e=x-xA=LU=LDM=LDL=GG33**TT绝对误差限

2、e

3、≤有关系式x-≤x≤x+或x=x±（平方根法：Ax=b且A=GG，则先用Gy=b求y，再用Gx=y求x）*exx*ex*xa相对误差erer**（x未知，用x代替）e紧凑格式a11g1111xxrxx2相对误差限

4、r=/

5、x

6、

7、er

8、≤r三阶公式a21a22g21g22a21/g11a22g21aaaggga/g(agg)/gag2g2有效数字n从x左起第一个非零数字到该数位共有n位313233313233311132312122333132k1全公式：若记G=(gij),则有:对k=1,2,…,n21凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半g(ag)2kkkkkmm1个单位。k1（3）追赶法g(agg)g,ik1,,nikikimkmkkm1Cr

9、out分解(TM)A=LU=LDM=TM-5a1c11112.设近似值x的相对误差限位10，则x至少具有（5）为有效数字。d2a2c22212第二章解线性方程组的直接法TM1、Gauss消去法dn1an1cn1n1n11n1是一种规则化的加减消元法，通过逐次消元计算，转化为等价的上三角形方程组。1(k)dnannn顺序Gauss消去法(简称为Gauss消去法):a(k1,2,...,n)为主元素kk前提条件：主

10、元素都不为零矩阵A的各阶顺序主子式都不为零。三对角矩阵A的各阶顺序主子式都不为零1a1,1c11,idi,i2,3,,n的一个充分条件是:iaidii1,i2,3,,n主元Gauss消去法:前提条件：矩阵A的行列式不为零。c,i2,3,,n1

11、a1

12、>

13、c1

14、>0;

15、an

16、>

17、dn

18、>0;

19、ai

20、

21、ci

22、+

23、di

24、,iii分为列主元消去法和全主元消去法，常用的方法为列主元消去法。列主元Gausscidi0,i=2,3,…,n-1.消去法是在每一步消元前,在主元所在的一列选取绝对值最大的元素作为主元

25、素。3、向量和矩阵的范数2、直接三角分解法（1）向量的范数‖x‖为向量x的范数（1）Doolittle分解(LU)前提条件：A的各阶顺序主子式不为零。①非负性：‖x‖0,且‖x‖=0当且仅当x=0；则存在唯一单位下三角矩阵L和上三角矩阵U使A=LU②齐次性：实数,‖x‖=

26、

27、‖x‖；Doolittle分解(LU)法：Ax=b且A=LU，则先用Ly=b求y，再用Ux=y求x。1③三角不等式:‖x+y‖‖x‖+‖y‖。a11a12...a1nu11u12...u1nTl211x=(x1,x2,…,xn)a21a22...a2

28、nu22...u2nLl31l321U向量的1-范数:向量的2-范数:向量的-范数:xxxxxx2x2x2xmax

29、x

30、aa...au112n212n1inin1n2nnnnlll1n1n2n3范数的等价性m‖x‖‖x‖M‖x‖,xRn1三阶的LU计算公式常用的三种向量范数等价关系‖x‖‖x‖1n‖x‖,xRnLa21/u111nnxxnx,xRxxnx,xRa/u(alu)/u12

31、212311132311222(k)*limx(k)x*,或x(k)x*若limxx0则向量序列{x(k)}收敛于向量x*,记作aaakk111213Ualualux(k)x*x(k)x*,i1,2,,n222112232113iialulu33311332234、矩阵的范数4、迭代法的收敛性①非负性②齐次性③三角不等式‖A+B‖‖A‖+‖B‖和‖AB‖‖A‖‖B‖迭代法收敛迭代矩阵谱半径小于1(A)1。‖A‖为矩阵A的范数，为矩阵的特征值AE0若‖M‖<1,则对任意x(0),迭代

32、法收敛（充分非必要条件）。knMM常用