数学分析课后习题答案20.2.pdf

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1、1.计算第二型曲线积分:(1)∫xdy−ydx,其中L为本节例2中的三种情况;L(2)∫(2a−y)dx+dy,其中L为摆线x=a(t−sint),y=a(1−cost)(0≤t≤2π)沿t增加L方向的一段;−xdx+ydy222(3),其中L为圆周x+y=a,依逆时针方向;∫Lx2+y2(4)∫ydx+sinxdy,其中L为y=sinx(0≤x≤π)与x轴所围的闭曲线,依顺时针方向;L(5)∫xdx+ydy+zdz,其中L:为(1,1,1)到(2,3,4)的直线段.L2解(1)若积分沿抛物线OB:y=2x,则dy=4xds.从而112222∫OBxd

2、y−ydx=∫0(4x−2x)dx=2∫0xdx=.3若积分沿直线OB:y=2x,则dy=2dx.从而1∫xdy−ydx=∫(2x−2x)dx=0.OB0若积分沿折线OAB,OA:y=0(0≤x≤1),AB:x=1(0≤y≤2),则12∫Lxdy−ydx=∫OAxdy−ydx+∫ABxdy−ydx=∫00dx+∫0dy=2.(2)因dx=a(1−cost)dt,dy=asintdt,从而∫(2a−y)dx+dyL2π=∫[(2a−a+acost)⋅a(1−cost)+asint]dt02π22=∫(asint+asint)dt022π1−cos2t2π

3、=a∫dt−acost0202=aπ.(3)L的参数方程为x=acost,y=asint,(0≤t≤2π).从而22−xdx+ydy2πasintcost+asintcost=dt∫Lx2+y2∫0a22π=∫sin2tdt=0.0∫Lydx+sinxdy=(∫OA+∫AO)(ydx+sinxdy)π0=∫(sinx+sinxcosx)dx+∫(0+sinx⋅0)dx(4)0ππ0=∫sinxdx+∫sinxdsinx0π=2.(5).直线的参数方程是:x=1+t,y=1+t,z=1+3t(0≤t≤1).从而∫xdx+ydy+zdzL1=∫[(1+t)

4、+2(1+2t)+3(1+3t)]dt01=∫(6+14t)dt0=13.2.设质点受力作用,力的反方向指向原点,大小与质点离原点的距离成反比.若质点由(a,0)沿椭圆移动到(0,b),求所作的功.解椭圆的参数方程为:x=acosθ,y=bsinθ(0≤θ≤π)222−x−yF=kx+y(,)2222x+yx+y=(−kx,−ky)(k>0)则W=∫Pdx+Qdy=∫(−k)(xdx+ydy)LLπ2[2]=−k∫acost⋅(−asint)+bsintcostdt0π222=k∫(a−b)sintdsint0k22=(a−b).23.设一质点受力作用

5、,力的方向指向原点,大小与质点到xy平面的距离成反比.若质点沿直线x=at,y=bt,z=ct(c≠0)从N(2a,2b,2c),求力所作的功.k解F=,因为力的方向指向原点,故其方向余弦为:z−x−y−zcosa=,cosβ=,cosγ=,rrr222其中r=x+y+z.力的三个分力为kxkykzP=−,Q=−,R=−.zrzrzr从而kxkykW=−∫dx+dy+dzLrzrzr2222k(a+b+c)=−∫dt1222cta+b+ctk22221=−∫a+b+cdtc1tk222=−a+b+cln2ck′222=a+b+cln2.c4.证明曲线积

6、分的估计公式:∫Pdx+Qdy≤LM,AB22其中L为AB的弧长,M=maxP+Q.(x,y)∈AB利用上述不等式估计积分ydx−xdxI=,R∫22222x+y=R(x+xy+y)并证明limI=0.RR→∞证(1)因为dxdy∫Pdx+Qdy≤∫(P+Q)dsABABdsds且dxdy22dx2dy222P+Q≤(P+Q)()+()=(P+Q),dsdsdsds从而dxdy∫Pdx+Qdy≤∫(P+Q)dsABABdsds22≤∫P+Qds≤∫Mds=LM.ABAB22x+y4(2)因max=,所以由(1)知2222243x+y=R(x

7、+xy+y)Rydx−xdy48π≤2πR⋅=.∫x2+y2=R2(x2+xy+y2)2R3R28π由于I≤→0(R→+∞),故limI=0.R2RRR→∞5.计算沿空间曲线的第二型曲线积分:222(1)∫Lxyzdz,其中L:x+y+z=1与y=z相交的圆,其方向按曲线依次经过1,2,7,8卦限;222222222(2)∫(y−x)dx+(z−x)dy+(x−y)dz,其中L为球面x+y+z=1在第一L卦限部分的边界曲线,其方向按曲线依次经过xy平面部分,yz平面部分和zx的平面部分.22解(1)曲线的参数方程为x=cosθ,y=sinθ,z=sin

8、θ(0≤θ≤2π),当θ22从0增加到2π时,点(x,y,z)依次经过1,2,7,8卦限,于是