数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋)第三章.pdf

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1、第三章极限与函数的连续性第一节极限问题的提出第二节数列的极限1.用定义证明下列极限为零：n1(1)lim2nn12证明：对于0,取Nn[]1,则对于N,总有nn12222.2212nnnNn1因此有lim0.2nn1sinn(2).lim;nn1证明：对于0,取Nn[]1,则对于N,总有sinn111.nnN1sinn于是可知lim0.nn1(3).lim;nn!11111证明：对于0,取Nn[]1,则对于N,总有.nnN

2、!11于是可知lim0.nn!2n(1)(4).lim;2nn12证明：对于0,取Nn[]2,则对于N,总有2nn(1)222.22112nnnn[]12n(1)于是可知lim0.2nn1-1-(5).lim(nn1);n11证明：lim(nn1)lim,对于0,取N[]1,则对于nN,总有2nnnn11111.nnnN1121于是可知lim(nn1)lim0.nnnn1n10(6).lim;n

3、n!10n10101010101010M证明：取MM,l则imlim.那么对于0,取N[]1,10!nnnn!111213nn1010101010101010则对于nN,.总有MMM因此lim0.nn!111213n10Mnn!n(7).lim(a1);nnann1122n证明：令aan1(0),则(1)1n(1n)n(1n);那么222对于0,取Nn[]2,则对于N,总有2nnn22.nn

4、12(1)2aa22nnn(1)22n因此lim0.nnan!(8).lim;nnnnn!1231n11证明：对于nN,;总有因此对于0,取[]1,则对于nnnnnnnnnN,总有n!111.n1nnNn!因此lim0.nnn-2-123n(9).lim;3nnn1n123nn212n11证明：对于nN,;总有因此对0,取[]1,3322nn22nnn则对于nN,总有123n111.31nn

5、N123n因此lim0.3nn1n(10).lim(aa),1.nnn11证明：由(7)可知对于1，NnN,当时，有1，即；因此对0,取N11nn2aan2[]2,NNmax(,)N则对于nN,总有1211n122a.nnnn21n因此lim(a)0.nn2.用定义证明：233nn(1).lim;2n212n2233233nnnn33nn22nn23证明：对于n都有,22222212nn21212nnnn233nn

6、333那么对于,[取Nn]1,对于N,总有.21223nn233nn因此可知lim.2n212n-3-2nn(2).lim1;nn22nnnnnn11证明：对于n都有1,nn()nnnnnnn22n211nn1那么对于,[取Nn]1,对于N,总有1.nn12nn因此可知lim1.nnn1n为偶数n(3).limxx1,其中.nnnn1n为奇数nn1111证明：对于nx,11.都有则对于

7、0,取N[]1,当nN时总有nnnn111xx1.于是有lim1.nnnN1n3nk331n(4).limxx3,其中n3k1(k1,2,).nnnn1n2nk323nn证明：当nkx33时，330；n31n11当nk31时，x33；nnnn1nn13nnn2当nk32时，x323n33nnnn3nnnn44n1.(3nn)(2n)6nnnnnnn11那么对于0,分别

8、取NNN[]1,[]1,max(N,Nn),于是当N时有2322311inkx.3当时，3330;iink.3当13时，x;.iii当