新钢规 二阶分析理解.pdf

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1、钢结构规范二阶分析理解北京首钢国际工程技术有限公司张渊整理Part1欧拉公式的定义轴向受压的理想直杆，在下图所示与直线平衡构形无限接近的微弯曲构形的局部的平衡条件。得到任意截面x上的弯矩为：M(x)=???(?)（1-1）由小饶度微分方程：d2w(x)M(x)=−EI（1-2）dx2得到：d2w(x)+k2w=0（1-3）dx2这是压杆在微弯屈曲构形时的平衡方程，是用平衡方法确定交叉荷载的主要依据，其中：Fpw=w(x),k2=（1-4）EI该平衡方程的解可以写成：w=Asinkx+Bcoskx（1-5）利用两端的边界条件w(0)=0；

2、w(L)=0得到：0∙A+B=0{（1-6）sinkL∙A+coskL∙B=0根据线性代数知识，A，B不全为零的条件是系数行列式等于零，即：01

3、

4、=0sinkLcoskL由此解得到：sinkL=0于是有kL=0，π，2π，⋯，nπ，即kL=nπ(n=1,2,⋯)从中解出k式后带入（1-4），便得到所要求的分叉荷载的表达式：n2π2EIFpcr=2（1-7）L当n=1是，由上式得到有实际意义的分叉荷载的最小值：π2EIFpcr=2（1-8）L从（1-6）式的第一式求解出B=0，连同k=nπ/L一同带入（1-5）得到与直线平衡构形无限接近

5、的屈曲模态：nπxw(x)=Asin（1-9）L这是n个正弦半波，时中A称屈曲模态幅值，它是个不定常数。不同刚性支撑条件下，由静力学平衡方法得到的压杆的平衡微分方程和边界条件都可能各不相同，确定分叉荷载的表达式亦以此而异，但是其基本分析方法是相同的，对于长细杆，这些公式可以写成通用形式：π2EIFpcr=2（1-10）（μL)这一表达式称为欧拉公式，其中μL为不同压杆屈曲后绕曲线上正弦半波的长度，称为有效长度（effectivelength），μ为反应不同支座约束影响的系数，称为长度系数（coefficientoflength）。需要注

6、意的是，上述分叉荷载公式只有在压杆的微弯曲状态下仍处于弹性范围是才是成立的，也即当压杆有截面进入弹塑性，该公式将不再成立。此外，（1-10）中的长度系数μ可由屈曲后的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比值确定。Part2何为一阶分析，何为二阶分析在钢结构进行分析时，先应搞清楚什么是一阶，什么是二阶。在结构设计中，当平衡方程按结构变位前的轴线建立时，称为一阶，也称几何线性；当平衡方程按结构变位后的轴线建立称为二阶，也称为几何非线性。在明确了何为一阶，何为二阶后，根据应变与位移的关系为线性和非线性（既结构截面进入弹塑性阶段

7、），对钢结构框架的设计有可分为如下常用的四种方法：一阶弹性分析二阶弹性分析一阶弹-塑性分析二阶弹-塑性分析注：其实还有一阶刚-塑性分析和二阶刚-塑性分析，具体可见吕烈武等编著《钢结构构件稳定理论》，由于应用不多，所以一般书中并没有提及。一阶弹性分析方法就是初等结构力学中的结构分析方法。这里有一个大家很熟知的假定：1)材料本构方程（应力-应变方程式）假设为线弹性。还有两个常常被大家忘记了的基本假设：2)小位移，此假设得应变与位移的关系为线性，如梁的变形弹性曲线转角为位移的一阶导数，曲率为位移的二阶导数。3)平衡方程式建立在结构变形

8、之前的几何状态上，不考虑结构受力后产生的变形对结构受力的影响。此三个基本假设确定了一阶线性分析方法是只考虑结构材料与几何均为线性的分析方法。此外一阶线性分析方法还忽略结构实际存在的缺陷：1)框架整体几何缺陷，安装偏差引起的节点坐标与理想位置的偏差。2)杆件初始缺陷，钢构件中由热轧、冷热加工和切割引起的初始残余应力，以及构件的初始弯曲，轴压力的初始偏心等。以一个中心受压的压杆为例，一阶线性分析方法假设压杆是绝对直杆，无初始残余应力，中心受压无初始偏心。当然这些假设均与实际工程中的结构不符，必须用其它方法解决，而无法在一阶线性分析方法的框架

9、内解决。再以一个框架为例，如果其整体抗侧移刚度很差，如果在施工过程中存在整体几何缺陷，也即施工时的构件安装偏差，这样结构底部构件在竖向力的作用下就会有初始弯矩，当然这样一阶线性分析方法也是无法解决的。综上所述，正如下图所示，二阶分析时包含P-Δ和P-δ双重的分析，也即框架整体层面上的P-Δ效应和单根杆件层面上的P-δ效应。也即在实际的结构中，通常P-Δ效应是针对结构的整体而言，是一个相对宏观的概念，而P-δ效应是针对具体的单个构件而言的。Part3一阶分析方法的缺点欧拉于1744年得到了细长压杆失稳后弹性曲线的精确解及压曲载荷的计算公式

10、。这就是大家熟悉的压杆欧拉临界屈曲荷载计算公式，此方法比一阶线性分析方法向前推进了一步，考虑了压杆失稳变形对受力的影响，也就是轴压力作用在失稳后的弹性曲线所引起的压杆内的弯矩。这就是二阶效应。各种不同边界条