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1、huajie313初等数学研究系列内容简介：本文详细介绍了权方和不等式的产生背景并通过大量实例系统展示了权方和不等式在是中学数学（包括奥林匹克数学）中的广泛应用；深刻揭示了其使用上的诸多技巧。权方和不等式专题研究安徽宿州学院数学系化劼234000“权方和不等式”是80年代初由湖北杨克昌教授命名的，其实质是Holder不等式的特例。在初等数学中的地位虽然不算突出，但对于中学数学（包括奥林匹克数学）中的很多与不等式有关的问题而言，权方和不等式却“堪称利器”。故在此对其做专题研究。一．权方和不等式的产生背景
2、及其在中学数学（竞赛数学）中的应用nnn引理1：若且λλ>>0,aa0∑∑=1,则λ≥∏aλiiiiiiiii==11i=1证明：因函数fx()=+lnx在(0,∞)上是凹函数n由Jensen不等式:0对λλii>>,a0且∑i=1i=1nnn⎛⎞⎛⎞λ有:ln⎜⎟∑∑λλaa≥=lnln⎜⎟∏ai(当a=a等号成立)iiiiiij⎝⎠ii==11⎝⎠i=1又fx()=lnx在(0,+∞)上单调增nn故有:∑λa≥∏aλi(等号在a=a时取得)iiiiji=1i=111引理2：（Holder不等式）若
3、且ab>0,>0(i=1,2⋅⋅⋅⋅⋅⋅n),+=1p>1iipq11nnpqn⎛⎞pq⎛⎞则∑∑abii≤⎜⎟ai⋅⎜∑bi⎟ii==11⎝⎠⎝i=1⎠pq1ab1abiiii证明：由引理1易知:+≥nn11pqpqnn∑∑abii⎛⎞pqpq⎛⎞ii==11⎜⎟∑∑abii⋅⎜⎟⎝⎠ii==11⎝⎠n∑abiipppppp11()aa++⋅⋅⋅+a(b+b+⋅⋅⋅+b)in=11212n故≤+=111nnnnpqpq⎛⎞pqpq⎛⎞∑∑abii⎜⎟∑∑abii⋅⎜⎟ii==11⎝⎠ii==11⎝⎠
4、1huajie313初等数学研究系列11nnpqn⎛⎞pq⎛⎞pq此即:∑∑abii≤⎜⎟ai⋅⎜∑bi⎟（当ai=λbi时取等号）ii==11⎝⎠⎝i=1⎠注1：引理1实际上是加权算术平均与几何平均不等式的特例。注2：在引理2中令p=q=2即可得到Cauchy不等式。下面我们对引理2.实施两步特殊化处理：1mnnnm+1m+1⎛⎞m+1⎛⎞m+1m①令p=m+1则m>0,原不等式变形为：∑∑abii≤⋅⎜⎟ai⎜⎟∑biii==11⎝⎠⎝⎠i=11mmnnm+1m+1na⎛⎞a⎛⎞m+1②做变换a=
5、i,b=bm+1,将上不等式变形为：∑∑ab≤⋅⎜⎟i⎜⎟∑imiiiimbm+1ii==11⎝⎠bi⎝⎠i=1im+1n⎛⎞nm+1⎜⎟∑aiai⎝⎠i=1将上式整理为∑m≥m(abii>>0,0,m>0.等号在ai=λbi时取得).bni=1i⎛⎞⎜⎟∑bi⎝⎠i=1我们称上式（狭义）权方和不等式（m称为该不等式的权）。它的特点是分子的幂指数比分母高1次。灵活的选用（狭义）权方和不等式常常可以起到意想不到的化简效果。以下我们将从求极值和证明不等式两个方面来展示（狭义）权方和不等式的“化简魅力”。Ⅰ
6、.用于求极值+11例1.已知xy,1∈+R且=,求x+2y的最小值.xy2212()21()+22简解：1=+≥，故xy+21≥()+23=+22xy22x+y11112当且仅当=+，=11即xy=+2,=1+时取得最小值3+22.xx2yy2+118例2．已知ab,,c∈+R且ab+c=1，求++的最小值222abc3333112()11++2简解：++≥=642222abc()abc++11211等号在==且abc++=1,即a=b=c=时取得abc4222222例3．已知xy++234z+u+5
7、v=30,求w=x+2y+3z+4u+5v的最小值.222222x()23yz()()4u()5v()xy++234z+u+5v简解：w=++++≥=60123451++2345++2huajie313初等数学研究系列当且仅当xy==z=u=v=2时w取得最小值60.+*1λ例4．已知xy,,∈+R且xy=1,λ>0,n∈N.求+的最小值.nnxynn++11nn++1111λn+1()λλ(1+)n+1n+1简解：nn+=n+n≥n=()1+λxyxy()xy+nn++1111λλ联立xy+=1,=
8、,可解得在x=,y=时取得最值.xynn++1111++λλab⎛⎞π例5.求函数ya=+(,,bm>0)在⎜⎟0，上的最小值.mmsinααcos⎝⎠2mmm++11+12222222⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟abmm++22⎜⎟⎜am+2+bm+2⎟m+2222ab⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛⎞简解：ya=+=+≥=⎜⎟mm++22+bmmmmmsinααcos2222222⎝⎠()sinαα()cos()sinα+cosα221abmm++22am+2⎛⎞当且仅当==，即
