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1、矢量分析基础（2009年7月20日）正交曲线坐标系课程要求：熟练掌握各种坐标系的数学表述，并能根据物理问题的对称性灵活运用。正交曲线坐标系定义空间中任一点矢量表示法：r⃗与坐标系选取无关1．直角坐标系（笛卡尔坐标系）分量表示法：r⃗=x⃗i+y⃗j+zk�⃗向量表示法：�ｘｙｚ�１００基矢：�０�，�１�，�０�００１几何表示法：2．平面极坐标系分量表示法：r⃗=rr⃗0极坐标系与平面直角坐标系间转换极坐标系中的坐标r,θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值x=rsinθ,y=rcosθ直角坐标系中x,y坐标由下面的公式转换为
2、极坐标下的坐标值yr=�x2+y2,θ=tan−1(x≠0)x向量表示法：�１０�１０基矢：��，��０１几何表示法：3．柱坐标系分量表示法：r⃗=rr⃗0+zk�⃗柱坐标系与直角坐标系间转换柱坐标系中的坐标r,θ,z可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值x=rsinθ,y=rcosθ,z=z直角坐标系中坐标x,y,z可以由下面的公式转换为柱极坐标下的坐标值yr=�x2+y2,θ=tan−1(x≠0),z=zx向量表示法：�１０１�１００基矢：�０�，�１�，�０�００１几何表示法：4．球坐标系分量表示法：r⃗=rr⃗0球坐标系
3、与平面直角坐标系间转换球坐标系中的坐标r,θ,φ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值x=rsinθcosφ,y=rsinθsinφ,z=rcosθ直角坐标系中x,y,z坐标由下面的公式转换为极坐标下的坐标值�x2+y2yr=�x2+y2+z2,θ=tan−1��,φ=tan−1zx向量表示法：�１００�１００基矢：�０�，�１�，�０�００１几何表示法：思考：(a)两个空间点(x1y1z1),(x2y2z2)之间的间隔如何向量表示？(b)两个完全不相干的空间点(x1y1z1),(x2y2z2)如何向量表示？5．正交曲线坐标系除了上面四
4、种常用坐标系外，在考虑不同对称性体系时，使用一些特定的坐标系对数学处理尤其是构建物理图象或解释是至关重要的直角坐标系·极坐标系·抛物线坐标系·双极坐标二维坐标系系·双角坐标系·双心坐标系·双曲坐标系·椭圆坐标系直角坐标系·圆柱坐标系·球坐标系·三维抛物线坐标·抛物柱面坐标系·抛物面坐标系·扁球面坐标系·长球面坐标系·椭球坐标系·椭圆柱坐标三维坐标系系·圆环坐标系·双球坐标系·双极圆柱坐标系·圆锥坐标系·Flat-Ringcyclidecoordinates·Flat-Diskcyclidecoordinates·Bi-cyclidecoordina
5、tes·Cap-cyclidecoordinates现一般引进一新的坐标系(q1q2q3)，这一新坐标系中的坐标q1,q2,q3可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值x=x(q1,q2,q3),y=y(q1,q2,q3),z=z(q1,q2,q3)∂(x,y,z)如果这种变换满足Jacobi条件≠0（线性独立）∂(q1,q2,q3)那么沿坐标轴线qi的弧长∂x∂y∂zdsi=�(dx)2+(dy)2+(dz)2=�()2+()2+()2∙dqi≡Dhidqi∂qi∂qi∂qi∂x∂y∂z其中hi=�()2+()2+()2称为坐标线qi的度规因子
6、；∂qi∂qi∂qi如果三族坐标线是处处相互正交的，则称正交曲线坐标系。(q1q2q3)→(q1+dq1q2+dq2q3+dq3)的距离ds=�(ds1)2+(ds2)2+(ds3)2=�(h1dq1)2+(h2dq2)2+(h3dq3)2六个面元中，任一面元qi,qi+dqi,qj,qj+dqj的面积元dσ=hidqihjdqj=hihjdqidqj六个坐标面q1,q1+dq1,q2,q2+dq2,q3,q3+dq3构成的长方体积元dτ=h1dq1h2dq2h3dq3=h1h2h3dq1dq2dq3自行练习：球坐标下度规因子：hr=1
7、,hθ=r,hφ=rsinθ柱坐标下度规因子：hr=1,hθ=r,hz=1球的表面积和体积？柱的侧面和底面表面积以及体积？标量、矢量、标量场、矢量场、矢量代数课程要求：理解标量与标量场、矢量与矢量场的表述。概念：标量：只有大小而没有方向的量。如电压U，电荷量Q，电流I，面积S等矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度、磁感应强度、作用力、速度等。标量场：在指定时刻，空点中每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定义为标量场。如物理体系中的温度、压力、密度等矢量场：在指定时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定义为
8、矢量场。例如流体空间中的流速分布等描述：标量和标量场：可以用变量和变量函数来描述标量：U标量场：T(r⃗,t)矢量和
