线性方程的迭代法部分习题分析.pdf

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1、内江师范学院数学与信息科学学院第5章线性方程组的迭代解法一、考核知识点向量范数与矩阵范数的定义及其性质，迭代法的收敛性，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法及其收敛性．二、考核要求1．掌握向量范数的定义、性质；了解矩阵范数的定义、性质．2．了解严格对角占优矩阵；了解迭代法的收敛性．3．掌握雅可比迭代法，了解其收敛性．4．掌握高斯-塞德尔迭代法，了解其收敛性．三、例题分析例1已知向量X=（1，-1，5）,求向量X的三种常用范数．nn解Xx==max5XxXx==7,==227∞ii，12∑∑iiii==11例2证明X≤X≤nX,∞1∞n证明因为X∞

2、=maxxi=xp<∑xi=X1ii=1n∑xi≤nxp=nmaxxi≤nX∞ii=1所以X≤X≤nX,∞1∞⎡2−1⎤例3已知矩阵A=⎢⎥，求矩阵A的三种常用范数．⎣22⎦3n解A=max∑aij=4A=maxa=4∞i，1j∑ij，j=1i=1T⎡22⎤⎡2−1⎤⎡82⎤AA=⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎣−12⎦⎣22⎦⎣25⎦8−λ2T2AA−λI==λ−13λ+36=(λ−4)(λ−)925−λA=λ=9=321例4已知方程组1内江师范学院数学与信息科学学院⎛a21⎞⎛x1⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜2a2⎟⎜x2⎟=⎜2⎟⎜12a⎟⎜x⎟⎜1⎟⎝⎠⎝

3、3⎠⎝⎠（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式（2）证明当a>4时，雅可比迭代法收敛)0(111T)2(（3）取a=5,X=(,,)，求出X．10510解（1）对i=3,2,1，从第i个方程解出x，得雅可比法迭代公式为：i⎧(1nn+)1()()nxx=−−(12x)⎪123a⎪⎪(1nn+)1()()n⎨xx=−−(222x),n=0,1,?213⎪a⎪(1nn+)1()()nxx=−−(12x)⎪312⎩a（2）当a>4时，A为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛．)0(111T（3）取a=5，X=(,,)10510由迭代公式计算得)1

4、(1)1(8)1(1x=，x=，x=123102510)2(13)2(8)2(13x=，x=，x=12325025250（2）13813T则X=（，，）25025250例5用高斯——塞德尔迭代法解方程组⎛510⎞⎛x1⎞⎛4⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜151⎟⎜x2⎟=⎜−3⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟015x4⎝⎠⎝3⎠⎝⎠（1）证明高斯——塞德尔迭代法收敛（2）写出高斯——塞德尔法迭代公式（0）T（2）（3）取X=（000），求出X解（1）因为A为严格对角占优矩阵，故高斯——塞德尔迭代收敛．2内江师范学院数学与信息科学学院（2）对i=3,2,1，从第个方程解出ix

5、，得高斯——塞德尔法迭代公式为i⎧(1nn+)1()xx=−(4)⎪125⎪⎪(1nn++)1(1)()n⎨xx=−−(3−x),n=0,1,?213⎪5⎪（nn++1)1(1)xx=−(4)⎪32⎩5)1(4)1(19)1(119（3）x=，x=−，x=123525125)2(119)2(613)2(1887x=，x=−，x=1231256253125（2）1196131887T则X=（，−，）．12562531253