泛函分析结课论文.doc

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1、泛函分析结课论文FunctionalAnalysisCoursePaper学号姓名一、泛函分析空间理论泛函中四大空间的认识第一部分我们将讨论线性空间，在线性空间的基础上引入长度和距离的概念，进而建立了赋范线性空间和度量空间。在线性空间中赋以“范数”，然后在范数的基础上导出距离，即赋范线性空间，完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。范数可以看出长度，赋范线性空间相当于定义了长度的空间，所有的赋范线性空间都是距离空间。在距离空间中通过距离的概念引入了点列的极限，但是只有距离结构、没有代数结构的空间，在应用过程中受到限制。赋范线性空间

2、和内积空间就是距离结构与代数结构相结合的产物，较距离空间有很大的优越性。赋范线性空间是其中每个向量赋予了范数的线性空间，而且由范数诱导出的拓扑结构与代数结构具有自然的联系。完备的赋范线性空间是空间。赋范线性空间的性质类似于熟悉的，但相比于距离空间，赋范线性空间在结构上更接近于。赋范线性空间就是在线性空间中，给向量赋予范数，即规定了向量的长度，而没有给出向量的夹角。在内积空间中，向量不仅有长度，两个向量之间还有夹角。特别是定义了正交的概念，有无正交性概念是赋范线性空间与内积空间的本质区别。任何内积空间都赋范线性空间，但赋范线性

3、空间未必是内积空间。距离空间和赋范线性空间在不同程度上都具有类似于的空间结构。事实上，上还具有向量的内积，利用内积可以定义向量的模和向量的正交。但是在一般的赋范线性空间中没有定义内积，因此不能定义向量的正交。内积空间实际上是定义了内积的线性空间。在内积空间上不仅可以利用内积导出一个范数，还可以利用内积定义向量的正交，从而讨论诸如正交投影、正交系等与正交相关的性质。空间是完备的内积空间。与一般的空间相比较，空间上的理论更加丰富、更加细致。1线性空间（1）定义：设是非空集合，是数域，称为数域上上的线性空间，若，都有唯一的一个元素

4、与之对应，称为的和，记作，都会有唯一的一个元素与之对应，称为的积，记作且，，上述的加法与数乘运算，满足下列8条运算规律：102030在中存在零元素，使得，有40，存在负元素，使得50607080当时，称为实线性空间；当时，称为复线性空间（2）维数：10设为线性空间，若不存在全为0的数，使得则称向量组是线性相关的，否则称为线性无关。20设，若，使得则称可由向量组线性表示。30设为线性空间，若在中存在个线性无关的向量，使得中任一向量可有个向量线性表示，则称其为的一个基，称为的维数。2距离空间设是非空集合，若存在一个映射，使得，下

5、列距离公理成立：10非负性20对称性30三角不等式则称为的距离，为以的距离空间，记作。3赋范线性空间设称为数域上上的线性空间，若，都有一个实数与之对应，使得，下列范数公理成立：10正定性20绝对齐次性30三角不等式则称为上的范数，为上的赋范空间。已知完备的距离空间中任一列均收敛，而赋范线性空间作为一类特殊的距离空间，同样可以讨论它的完备性。只是这里的距离是由范数诱导的距离。在范数的语言下，点列为列的定义改写为完备的赋范线性空间称为空间。4内积空间设称为数域上上的线性空间，若存在映射：，使得，，，下列内积公理成立：对第一变元的

6、线性共轭对称性正定性且则称为上的内积，为上的内积空间。由于完备性的概念是建立在距离定义的基础上的，故等价的说，一个内积空间称为空间，若其按由内积导出的范数是完备的距离空间。在由内积导出的范数下，内积空间成为一个赋范空间，它具有一般赋范空间的所有性质。一、有界线性算子和连续线性泛函在线性代数中，我们曾遇到过把一个维向量空间映射到另一个维向量空间的运算，就是借助于行列的矩阵对中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一

7、般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。[定义3.1]由赋范线性空间中的某子集到赋范线性空间中的映射称为算子，称为算子的定义域，记为，为称像集为算子的值域，记作或。若算子满足：（1）（2）称为线性算子。对线性算子，我们自然要求是的子空间。特别地，如果是由到实数（复数）域的映射时，那么称算子为泛函。我们已经在第一章引入了线性算子与线性泛函的概念，同时也介绍了算子的连续性概念.现在让我们给出连

8、续线性算子与连续线性泛函的一种形式上不同的定义，在基本空间是度量空间的情况下，它们在实质上是等价的.定义1设X，Y是线性赋范空间，T：X→Y是线性算子.T称为是有界的，若对于X中的任一有界集A，T(A)是Y中的有界集.注意应该把这一定义中的有界算子的概念与数学分析中有界函数的概念加以区别，