高三复习中导数及应用易错题型.doc

高三复习中导数及应用易错题型.doc

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1、经典易错题会诊命题角度1导数的概念与运算1.(典型例题)设f0(x)=sinx,f1(x)=f’0(x),f2(x)=f’1(x),…,fn+1(x)=f’n(x),n∈N,则f2005(x)()A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx[考场错解]选A[专家把脉]由f’1(x)=f’0(x)=(sinx)’=cosx,f2(x)=(cosx)’=-sinx,f3(x)=(-sinx)’=-cosx,f4(x)=(-cosx)’=sinx,…,f2005(x)=f’2004(x)=…=f0(x0=sinx前面解答思路是正确的,但在归纳时发生了错误。因f4(x)=f0(x)=f8(x

2、0=…=f2004(x),所以f2005(x)=f1(x)=cosx.[对症下药]选C2.(典型例题)已知函数f(x)在x=1处的导数为3,f(x)的解析式可能为()A.f(x)=(x-1)3+32(x-1)B.f(x)=2x+1C.f()=2(x-1)2D.f(x)-x+3[考场错解]选B∵f(x)=2x+1,∴f’(x)=(2x+1)’=2x+1

3、x=1=3.[专家把脉]上面解答错误原因是导数公式不熟悉,认为(2x+1)’=2x+1.正确的是(2x+1)’=2,所以x=1时的导数是2,不是3。[对症下药]选A∵f(x)=(x-1)3+3(x-1)f’(x)=3(x-1)2+3,当x=1时

4、,f’(1)=33.(典型例题)已知f(3)=2f’(3)=-2,则的值为()A.-4B.0C.8D.不存在[考场错解]选D∵x→3,x-3→0∴不存在。[专家把脉]限不存在是错误的,事实上,求型的极限要通过将式子变形的可求的。[对诊下药]选C==4.(05,全国卷)已知函数f(x)=e-x(cosx+sinx),将满足f’(x)=0的所有正数x从小到大排成数列;(2)记Sn是数列{xnf(xn)}的前项和。求[考场错解]∵f’(x)=e-x(cosx+sinx)’+(e-x)’(cosx+sinx)=e-x(-sinx+cosx)+e-x(cosx+sinx)=2e-xcosx令f’(x)

5、=0,x=nπ+(n=1,2,3,…)从而xn=nπ+。f(xn)=e-(nπ+)(-1)n·=-e.∴数列{f(xn)}是公比为q=-e-π的等比数列。[专家把脉]上面解答求导过程中出现了错误,即(e-x)’=e-x是错误的,由复合函数的求导法则知(e-x)’=e-x(-x)’=-e-x才是正确的。[对诊下药](1)证明:f’(x)=(e-x)’(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx)’=-e-x(cosx+sinx)+e-x(-sinx+cos)=-2e-xsinx.令f’(x)=0得-2e-xsinx=0,解出x=nπ,(n为整数,从而xn=nπ(n=1,2,3,…),f(x

6、n)=(-1)ne-nπ,所以数列

7、f(xn)

8、是公比q=-e-π的等比数列,且首项f(x1)=-e-π(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+…+xnf(xn)=nq(1+2q+…+nqn-1)aSn=πq(q+2q2+…+nqn)=πq(-nqn)从而Sn=(-nqn)∵

9、q

10、=e-π<1∴qn=0,∴专家会诊1.理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式:设函数f(x)在x=a处可导,则的运用。2.复合函数的求导,关键是搞清复合关系,求导应从外层到内层进行,注意不要遗漏3.求导数时,先化简再求导是运算的基本方法,一般地,分式函数求导,先看是否化为整式函数或较简单的分式函数;对数函数

11、求导先化为和或差形式;多项式的积的求导,先展开再求导等等。考场思维训练1函数f(x)=x3+ax2+3x-9.已在f(x)在x=-3时取得极值,则a=()A.2B.3C.4D.5答案:D解析:∵f′(x)=3x2+2ax+3.令f′(x)=0.即3x2+2ax+3=0有一根x=-3,∴3(-3)2-6a+3=0,得a=5.2函数f(x)=x3-8x,则函数f(x)在点x=2处的变化率是()A.2B.-2C.4D.-4答案:C解析:∵f′(x)=3x2-8.∴x=2时的变化率是f′(2)=3×22-8=4.3满足f(x)=f’(x)的函数是()A.f(x)=1-xB.f(x)=xC.f(x)=

12、0D.f(x)=1答案:C解析:f(x)=0,0′=0,∴f(x)=f′(x).4已知f(x)=ln

13、2x

14、,则f’(x)=()A.B.C.D.答案:A解析:当x>0时,f(x)=ln(2x),∴f′(x)=c∴f′(x)=.5已知函数f(x)=ln(x-2)-(1)求导数f’(x)答案:f′(x)=(2)解不等式:f’(x)>0答案:令f′(x)=即(i)当a≤-1时,x2+2x-a>恒成立,∴x>2.(i

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