高等代数第六章.doc

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1、第四章向量4.1基本内容4.1.1n维向量n维列向量与n维行向量即为矩阵，因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。注为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。4.1.2向量的内积设，(1)定义称为向量的内积。(2)性质等号当且仅当时成立(3)有关概念向量的范数：单位向量：若，则称为单位向量。向量的标准化（规范化）；称为的标准化向量。两向量的正交：若，则称正交。4.1.3线性组合，线性相关，线性无关的定义设是一组n维向量(1)线性组合：设是一个n维向量，若存在一组数，使则称为向量组的一个线性组合，或称可由向量组线性表出。注设两组向量（I）

2、，（II），若每一个都可由线性表出，则称向量组（I）可由向量组（II）线性表出；当向量组（I）与（II）可互相表出时，称向量组（I）与（II）等价。(1)线性相关：若存在一组不全为零的数，，则称向量组线性相关。(2)线性无关：若当且仅当时，才成立，则称线性无关。注对一组向量来说，不是线性相关，就是线性无关，二者必居其一。4.1.4向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系(1)可由线性表出线性方程组有解矩阵的秩等于矩阵的秩(2)线性相关齐次线性方程组有非零解矩阵的秩小于m(3)线性无关齐次线性方程组只有零解矩阵的秩等于m4.1.5向量的线性相关性的有关结论(1)仅含一个向量的向量

3、组线性相关(2)任何含有零向量的向量组必线性相关(3)含线性相关部分组的向量组必线性相关（即增加向量不改变线性相关）注(3)可等价地写成：线性无关向量组的任一部分组必线性无关(4)线性无关的向量组的各向量扩充分量后仍线性无关（即增加分量不改变线性相关）注(4)可等价地写成：线性相关向量组的各向量减少分量后仍线性相关(5)任意m个n维向量，当时必线性相关(6)向量组线性相关中至少有一个向量可由其余向量线性表出(1)向量组线性无关，而线性相关可由线性表出，且表达式唯一(2)若向量组（I）线性无关，且可由向量组（II）线性表出，则(3)不含零向量的正交向量组必线性无关4.1.6向量组的极

4、大无关组与向量组的秩(1)定义：设（I）是（II）的一个部分组，并且满足：①线性无关，②（II）中任一向量都可由（I）线性表出。则称部分组（I）为原向量组（II）的一个极大无关组，并称数r为向量组（II）的秩，记作r（II）或注一个向量组的极大无关组一般不是唯一的，但其每一个极大无关组所含向量个数必是相等的，即为该向量组的秩(2)性质：①线性无关向量组的极大无关组即为其本身②向量组与其任一极大无关组等价③向量组的任意两个极大无关组等价④等价向量组的极大无关组等价⑤等价向量组的秩相等，但其逆不成立⑥若向量组的秩为r，则其中任意r个线性无关的向量都是它的一个极大无关组(3)向量组的秩与

5、矩阵的秩之间的关系将矩阵A按行或列分块向量组（I），（II）分别为A的行向量组与列向量组，则r（A）=r（I）=r（II）注1由此结论可容易推出矩阵运算后秩的关系式注2线性无关r（A）=m线性无关r（A）=n注3上述结论实际上也给出了向量组求秩的一个具体算法，即可利用矩阵的初等变换4.1.7极大无关组的求法(1)录选法①在向量组中任取一个非零向量作为②取一个与的对应分量不成比例的向量作为③取一个不能由，线性表出的向量作为，继续作下去便可求得极大无关组注这一方法仅适合于向量组中向量个数较少的情形(2)行初等变换法第一种方法：将向量组中各向量作为矩阵的行①对A进行行初等变换化为行梯形阵

6、②将所做过的行对换回去则非全零行所对应的向量所构成的向量组即为极大无关组第二种方法：将向量组中各向量作为矩阵的列①对A进行行初等变换化为行梯形阵②在每个阶梯上取一列则对应的向量所构成的向量组即为极大无关组4.1.8向量空间(1)定义：在非空集合V的元素间定义加法，若V对所定义的加法与数乘封闭，即任意的，且加法满足：①②③存在零元素④对任一元素，存在负元素，使数乘满足：⑤⑥两种运算满足：⑦⑧则称带有这种线性运算的集合V为线性空间，若线性空间中的元素为向量，就称为向量空间,我们仅讨论向量空间。注所有n维向量所构成的向量集对向量的线性运算构成一个向量空间，本书中所讨论的向量空间仅限于或其

7、子空间(1)子空间：设有向量空间，若，则称的子空间注向量空间V的一个非空子集，若对V上的线性运算封闭则是V的子空间(2)生成空间：设有向量组，则的所有线性组合构成的向量空间，称为由生成的空间，记作，即4.1.9向量空间的基和维数(1)基与维若向量空间V中的一组向量满足：①线性无关②每个，即，则称为V的一组基，其所含向量个数r为向量空间V的维数，记作，也称V为r维向量空间，而称系数为在基下的坐标。注1一个向量空间V的基一般不止一个，但任一组基所含向量个数是固定的，即为，